Решить x/7+y/3=5;-x/14+3y=26

$$\frac { x } { 7 } + \frac { y } { 3 } = 5 ; - \frac { x } { 14 } + 3 y = 26$$

Найдите x, y

$$x=14$$

$$y=9$$

Действия с использованием подстановок

Рассмотрите первое уравнение. Умножьте обе стороны уравнения на 21, наименьшее общее кратное чисел 7,3.

$$3x+7y=105$$

Рассмотрите второе уравнение. Умножьте обе части уравнения на 14.

$$-x+42y=364$$

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Выберите одно из уравнений и решите его для x путем изоляция x в левой части уравнения.

$$3x+7y=105$$

Вычтите 7y из обеих частей уравнения.

$$3x=-7y+105$$

Разделите обе части на 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+105\right)$$

Умножьте \frac{1}{3} на -7y+105.

$$x=-\frac{7}{3}y+35$$

Подставьте -\frac{7y}{3}+35 вместо x в другом уравнении -x+42y=364.

$$-\left(-\frac{7}{3}y+35\right)+42y=364$$

Умножьте -1 на -\frac{7y}{3}+35.

$$\frac{7}{3}y-35+42y=364$$

Прибавьте \frac{7y}{3} к 42y.

$$\frac{133}{3}y-35=364$$

Прибавьте 35 к обеим частям уравнения.

$$\frac{133}{3}y=399$$

Разделите обе стороны уравнения на \frac{133}{3}, что равносильно умножению обеих частей на обратную дробь.

$$y=9$$

Подставьте 9 вместо y в x=-\frac{7}{3}y+35. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x=-\frac{7}{3}\times 9+35$$

Умножьте -\frac{7}{3} на 9.

$$x=-21+35$$

Прибавьте 35 к -21.

$$x=14$$

Система решена.

$$x=14,y=9$$

Действия с использованием матриц

Рассмотрите первое уравнение. Умножьте обе стороны уравнения на 21, наименьшее общее кратное чисел 7,3.

$$3x+7y=105$$

Рассмотрите второе уравнение. Умножьте обе части уравнения на 14.

$$-x+42y=364$$

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{42}{3\times 42-7\left(-1\right)}&-\frac{7}{3\times 42-7\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\times 42-7\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 42-7\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}&-\frac{1}{19}\\\frac{1}{133}&\frac{3}{133}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}\times 105-\frac{1}{19}\times 364\\\frac{1}{133}\times 105+\frac{3}{133}\times 364\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\9\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы x и y.

$$x=14,y=9$$

Действия с использованием исключения

Рассмотрите первое уравнение. Умножьте обе стороны уравнения на 21, наименьшее общее кратное чисел 7,3.

$$3x+7y=105$$

Рассмотрите второе уравнение. Умножьте обе части уравнения на 14.

$$-x+42y=364$$

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Чтобы сделать 3x и -x равными, умножьте все члены в обеих частях первого уравнения на -1 и все члены в обеих частях второго уравнения на 3.

$$-3x-7y=-105,3\left(-1\right)x+3\times 42y=3\times 364$$

Упростите.

$$-3x-7y=-105,-3x+126y=1092$$

Вычтите -3x+126y=1092 из -3x-7y=-105 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$-3x+3x-7y-126y=-105-1092$$

Прибавьте -3x к 3x. Члены -3x и 3x сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$-7y-126y=-105-1092$$

Прибавьте -7y к -126y.

$$-133y=-105-1092$$

Прибавьте -105 к -1092.

$$-133y=-1197$$

Разделите обе части на -133.

$$y=9$$

Подставьте 9 вместо y в -x+42y=364. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$-x+42\times 9=364$$

Умножьте 42 на 9.

$$-x+378=364$$

Вычтите 378 из обеих частей уравнения.

$$-x=-14$$

Разделите обе части на -1.

$$x=14$$

Система решена.

$$x=14,y=9$$