Решить x/5=y/4;y/3=x/3-1

$$\frac { x } { 5 } = \frac { y } { 4 } ; \frac { y } { 3 } = \frac { x } { 3 } - 1$$

Найдите x, y

$$x=15$$

$$y=12$$

Действия с использованием подстановок

Рассмотрите первое уравнение. Умножьте обе стороны уравнения на 20, наименьшее общее кратное чисел 5,4.

$$4x=5y$$

Разделите обе части на 4.

$$x=\frac{1}{4}\times 5y$$

Умножьте \frac{1}{4} на 5y.

$$x=\frac{5}{4}y$$

Подставьте \frac{5y}{4} вместо x в другом уравнении -x+y=-3.

$$-\frac{5}{4}y+y=-3$$

Прибавьте -\frac{5y}{4} к y.

$$-\frac{1}{4}y=-3$$

Умножьте обе части на -4.

$$y=12$$

Подставьте 12 вместо y в x=\frac{5}{4}y. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x=\frac{5}{4}\times 12$$

Умножьте \frac{5}{4} на 12.

$$x=15$$

Система решена.

$$x=15,y=12$$

Действия с использованием матриц

Рассмотрите первое уравнение. Умножьте обе стороны уравнения на 20, наименьшее общее кратное чисел 5,4.

$$4x=5y$$

Вычтите 5y из обеих частей уравнения.

$$4x-5y=0$$

Рассмотрите второе уравнение. Умножьте обе части уравнения на 3.

$$y=x-3$$

Вычтите x из обеих частей уравнения.

$$y-x=-3$$

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-5\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\left(-3\right)\\-4\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\12\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы x и y.

$$x=15,y=12$$

Действия с использованием исключения

Рассмотрите первое уравнение. Умножьте обе стороны уравнения на 20, наименьшее общее кратное чисел 5,4.

$$4x=5y$$

Вычтите 5y из обеих частей уравнения.

$$4x-5y=0$$

Рассмотрите второе уравнение. Умножьте обе части уравнения на 3.

$$y=x-3$$

Вычтите x из обеих частей уравнения.

$$y-x=-3$$

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

Чтобы сделать 4x и -x равными, умножьте все члены в обеих частях первого уравнения на -1 и все члены в обеих частях второго уравнения на 4.

$$-4x-\left(-5y\right)=0,4\left(-1\right)x+4y=4\left(-3\right)$$

Упростите.

$$-4x+5y=0,-4x+4y=-12$$

Вычтите -4x+4y=-12 из -4x+5y=0 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$-4x+4x+5y-4y=12$$

Прибавьте -4x к 4x. Члены -4x и 4x сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$5y-4y=12$$

Прибавьте 5y к -4y.

$$y=12$$

Подставьте 12 вместо y в -x+y=-3. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$-x+12=-3$$

Вычтите 12 из обеих частей уравнения.

$$-x=-15$$

Разделите обе части на -1.

$$x=15$$

Система решена.

$$x=15,y=12$$