Решить v/v+1+3/v-1-6/v^2-1

$$\frac { v } { v + 1 } + \frac { 3 } { v - 1 } - \frac { 6 } { v ^ { 2 } - 1 }$$

Вычислить

$$\frac{v+3}{v+1}$$

Краткая последовательность решения

Чтобы выполнить сложение или вычитание нескольких выражений, приведите их к одному знаменателю. Наименьшее общее кратное чисел v+1 и v-1 равно \left(v-1\right)\left(v+1\right). Умножьте \frac{v}{v+1} на \frac{v-1}{v-1}. Умножьте \frac{3}{v-1} на \frac{v+1}{v+1}.

$$\frac{v\left(v-1\right)}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}+\frac{3\left(v+1\right)}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}-\frac{6}{v^{2}-1}$$

Поскольку числа \frac{v\left(v-1\right)}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)} и \frac{3\left(v+1\right)}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)} имеют одинаковый знаменатель, выполните операцию сложения с помощью числителей.

$$\frac{v\left(v-1\right)+3\left(v+1\right)}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}-\frac{6}{v^{2}-1}$$

Выполните умножение в v\left(v-1\right)+3\left(v+1\right).

$$\frac{v^{2}-v+3v+3}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}-\frac{6}{v^{2}-1}$$

Приведите подобные члены в v^{2}-v+3v+3.

$$\frac{v^{2}+2v+3}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}-\frac{6}{v^{2}-1}$$

Разложите на множители выражение v^{2}-1.

$$\frac{v^{2}+2v+3}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}-\frac{6}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}$$

Поскольку числа \frac{v^{2}+2v+3}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)} и \frac{6}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)} имеют одинаковый знаменатель, выполните операцию вычитания с помощью числителей.

$$\frac{v^{2}+2v+3-6}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}$$

Приведите подобные члены в v^{2}+2v+3-6.

$$\frac{v^{2}+2v-3}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}$$

Разложите на множители еще не разложенные выражения в формуле \frac{v^{2}+2v-3}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}.

$$\frac{\left(v-1\right)\left(v+3\right)}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}$$

Сократите v-1 в числителе и знаменателе.

$$\frac{v+3}{v+1}$$

Дифференцировать по v

$$-\frac{2}{\left(v+1\right)^{2}}$$

Действия с использованием правила производной для частного

Чтобы выполнить сложение или вычитание нескольких выражений, приведите их к одному знаменателю. Наименьшее общее кратное чисел v+1 и v-1 равно \left(v-1\right)\left(v+1\right). Умножьте \frac{v}{v+1} на \frac{v-1}{v-1}. Умножьте \frac{3}{v-1} на \frac{v+1}{v+1}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{v\left(v-1\right)}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}+\frac{3\left(v+1\right)}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}-\frac{6}{v^{2}-1})$$

Поскольку числа \frac{v\left(v-1\right)}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)} и \frac{3\left(v+1\right)}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)} имеют одинаковый знаменатель, выполните операцию сложения с помощью числителей.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{v\left(v-1\right)+3\left(v+1\right)}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}-\frac{6}{v^{2}-1})$$

Выполните умножение в v\left(v-1\right)+3\left(v+1\right).

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{v^{2}-v+3v+3}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}-\frac{6}{v^{2}-1})$$

Приведите подобные члены в v^{2}-v+3v+3.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{v^{2}+2v+3}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}-\frac{6}{v^{2}-1})$$

Разложите на множители выражение v^{2}-1.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{v^{2}+2v+3}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}-\frac{6}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)})$$

Поскольку числа \frac{v^{2}+2v+3}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)} и \frac{6}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)} имеют одинаковый знаменатель, выполните операцию вычитания с помощью числителей.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{v^{2}+2v+3-6}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)})$$

Приведите подобные члены в v^{2}+2v+3-6.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{v^{2}+2v-3}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)})$$

Разложите на множители еще не разложенные выражения в формуле \frac{v^{2}+2v-3}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{\left(v-1\right)\left(v+3\right)}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)})$$

Сократите v-1 в числителе и знаменателе.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{v+3}{v+1})$$

Для двух любых дифференцируемых функций производная частного этих функций равна разности произведения знаменателя и производной числителя и произведения числителя и производной знаменателя, деленной на квадрат знаменателя.

$$\frac{\left(v^{1}+1\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(v^{1}+3)-\left(v^{1}+3\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(v^{1}+1)}{\left(v^{1}+1\right)^{2}}$$

Производная многочлена равна сумме производных его членов. Производная любой константы равна 0. Производная ax^{n} равна nax^{n-1}.

$$\frac{\left(v^{1}+1\right)v^{1-1}-\left(v^{1}+3\right)v^{1-1}}{\left(v^{1}+1\right)^{2}}$$

Выполните арифметические операции.

$$\frac{\left(v^{1}+1\right)v^{0}-\left(v^{1}+3\right)v^{0}}{\left(v^{1}+1\right)^{2}}$$

Разложите, используя свойство дистрибутивности.

$$\frac{v^{1}v^{0}+v^{0}-\left(v^{1}v^{0}+3v^{0}\right)}{\left(v^{1}+1\right)^{2}}$$

Чтобы перемножить степени с одинаковым основанием, сложите их показатели.

$$\frac{v^{1}+v^{0}-\left(v^{1}+3v^{0}\right)}{\left(v^{1}+1\right)^{2}}$$

Удалите лишние скобки.

$$\frac{v^{1}+v^{0}-v^{1}-3v^{0}}{\left(v^{1}+1\right)^{2}}$$

Объедините подобные члены.

$$\frac{\left(1-1\right)v^{1}+\left(1-3\right)v^{0}}{\left(v^{1}+1\right)^{2}}$$

Вычтите 1 из 1 и 3 из 1.

$$\frac{-2v^{0}}{\left(v^{1}+1\right)^{2}}$$

Для любого члена t, t^{1}=t.

$$\frac{-2v^{0}}{\left(v+1\right)^{2}}$$

Для любого члена t, за исключением 0, t^{0}=1.

$$\frac{-2}{\left(v+1\right)^{2}}$$