Решить frac{isqrt{2}-5}{i+sqrt{2}}

$$\frac { i \sqrt { 2 } - 5 } { i + \sqrt { 2 } }$$

Вычислить

$$-\frac{4\sqrt{2}}{3}+\frac{7}{3}i\approx -1,885618083+2,333333333i$$

Действия по решению

Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби \frac{i\sqrt{2}-5}{i+\sqrt{2}}, умножив числитель и знаменатель на i-\sqrt{2}.

$$\frac{\left(i\sqrt{2}-5\right)\left(i-\sqrt{2}\right)}{\left(i+\sqrt{2}\right)\left(i-\sqrt{2}\right)}$$

Учтите \left(i+\sqrt{2}\right)\left(i-\sqrt{2}\right). Умножение можно преобразовать в разность квадратов с помощью следующего правила: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(i\sqrt{2}-5\right)\left(i-\sqrt{2}\right)}{i^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}$$

Возведите i в квадрат. Возведите \sqrt{2} в квадрат.

$$\frac{\left(i\sqrt{2}-5\right)\left(i-\sqrt{2}\right)}{-1-2}$$

Вычтите 2 из -1, чтобы получить -3.

$$\frac{\left(i\sqrt{2}-5\right)\left(i-\sqrt{2}\right)}{-3}$$

Используйте свойство дистрибутивности, умножив каждый член i\sqrt{2}-5 на каждый член i-\sqrt{2}.

$$\frac{-\sqrt{2}-i\left(\sqrt{2}\right)^{2}-5i+5\sqrt{2}}{-3}$$

Квадрат выражения \sqrt{2} равен 2.

$$\frac{-\sqrt{2}-i\times 2-5i+5\sqrt{2}}{-3}$$

Перемножьте -i и 2, чтобы получить -2i.

$$\frac{-\sqrt{2}-2i-5i+5\sqrt{2}}{-3}$$

Вычтите 5i из -2i, чтобы получить -7i.

$$\frac{-\sqrt{2}-7i+5\sqrt{2}}{-3}$$

Объедините -\sqrt{2} и 5\sqrt{2}, чтобы получить 4\sqrt{2}.

$$\frac{4\sqrt{2}-7i}{-3}$$

Умножьте числитель и знаменатель на -1.

$$\frac{-4\sqrt{2}+7i}{3}$$

Действительная часть

$$-\frac{4 \sqrt{2}}{3} = -1,885618083164127$$