Решить f/11=g/33text{siendo}f+g=40

$$\frac { f } { 11 } = \frac { g } { 33 } \text { siendo } f + g = 40$$

Найдите f, g

$$f=10$$

$$g=30$$

Действия с использованием подстановок

Рассмотрите первое уравнение. Умножьте обе стороны уравнения на 33, наименьшее общее кратное чисел 11,33.

$$3f=g$$

Разделите обе части на 3.

$$f=\frac{1}{3}g$$

Подставьте \frac{g}{3} вместо f в другом уравнении f+g=40.

$$\frac{1}{3}g+g=40$$

Прибавьте \frac{g}{3} к g.

$$\frac{4}{3}g=40$$

Разделите обе стороны уравнения на \frac{4}{3}, что равносильно умножению обеих частей на обратную дробь.

$$g=30$$

Подставьте 30 вместо g в f=\frac{1}{3}g. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для f.

$$f=\frac{1}{3}\times 30$$

Умножьте \frac{1}{3} на 30.

$$f=10$$

Система решена.

$$f=10,g=30$$

Действия с использованием матриц

Рассмотрите первое уравнение. Умножьте обе стороны уравнения на 33, наименьшее общее кратное чисел 11,33.

$$3f=g$$

Вычтите g из обеих частей уравнения.

$$3f-g=0$$

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$3f-g=0,f+g=40$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-1\right)}&\frac{3}{3-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 40\\\frac{3}{4}\times 40\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы f и g.

$$f=10,g=30$$

Действия с использованием исключения

Рассмотрите первое уравнение. Умножьте обе стороны уравнения на 33, наименьшее общее кратное чисел 11,33.

$$3f=g$$

Вычтите g из обеих частей уравнения.

$$3f-g=0$$

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$3f-g=0,f+g=40$$

Чтобы сделать 3f и f равными, умножьте все члены в обеих частях первого уравнения на 1 и все члены в обеих частях второго уравнения на 3.

$$3f-g=0,3f+3g=3\times 40$$

Упростите.

$$3f-g=0,3f+3g=120$$

Вычтите 3f+3g=120 из 3f-g=0 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$3f-3f-g-3g=-120$$

Прибавьте 3f к -3f. Члены 3f и -3f сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$-g-3g=-120$$

Прибавьте -g к -3g.

$$-4g=-120$$

Разделите обе части на -4.

$$g=30$$

Подставьте 30 вместо g в f+g=40. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для f.

$$f+30=40$$

Вычтите 30 из обеих частей уравнения.

$$f=10$$

Система решена.

$$f=10,g=30$$