Решить frac{7+sqrt{3}}{7-sqrt{3}}

$$\frac { 7 + \sqrt { 3 } } { 7 - \sqrt { 3 } }$$

Вычислить

$$\frac{7\sqrt{3}+26}{23}\approx 1,657580681$$

Действия по решению

Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби \frac{7+\sqrt{3}}{7-\sqrt{3}}, умножив числитель и знаменатель на 7+\sqrt{3}.

$$\frac{\left(7+\sqrt{3}\right)\left(7+\sqrt{3}\right)}{\left(7-\sqrt{3}\right)\left(7+\sqrt{3}\right)}$$

Учтите \left(7-\sqrt{3}\right)\left(7+\sqrt{3}\right). Умножение можно преобразовать в разность квадратов с помощью следующего правила: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(7+\sqrt{3}\right)\left(7+\sqrt{3}\right)}{7^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Возведите 7 в квадрат. Возведите \sqrt{3} в квадрат.

$$\frac{\left(7+\sqrt{3}\right)\left(7+\sqrt{3}\right)}{49-3}$$

Вычтите 3 из 49, чтобы получить 46.

$$\frac{\left(7+\sqrt{3}\right)\left(7+\sqrt{3}\right)}{46}$$

Перемножьте 7+\sqrt{3} и 7+\sqrt{3}, чтобы получить \left(7+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\frac{\left(7+\sqrt{3}\right)^{2}}{46}$$

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(7+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\frac{49+14\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{46}$$

Квадрат выражения \sqrt{3} равен 3.

$$\frac{49+14\sqrt{3}+3}{46}$$

Чтобы вычислить 52, сложите 49 и 3.

$$\frac{52+14\sqrt{3}}{46}$$