Решить frac{6(k^{2}+1)^{2}-(3k^2-1)^2}{(3k^2+1)^2}=5/4

$$\frac { 6 ( k ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } - ( 3 k ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } } { ( 3 k ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } } = \frac { 5 } { 4 }$$

Найдите k

$$k=-1$$

$$k=1$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Умножьте обе стороны уравнения на 4\left(3k^{2}+1\right)^{2}, наименьшее общее кратное чисел \left(3k^{2}+1\right)^{2},4.

$$4\left(6\left(k^{2}+1\right)^{2}-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(k^{2}+1\right)^{2}.

$$4\left(6\left(\left(k^{2}\right)^{2}+2k^{2}+1\right)-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Чтобы возвести степень в другую степень, перемножьте показатели. Перемножьте 2 и 2, чтобы получить 4.

$$4\left(6\left(k^{4}+2k^{2}+1\right)-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Чтобы умножить 6 на k^{4}+2k^{2}+1, используйте свойство дистрибутивности.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(3k^{2}-1\right)^{2}.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-\left(9\left(k^{2}\right)^{2}-6k^{2}+1\right)\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Чтобы возвести степень в другую степень, перемножьте показатели. Перемножьте 2 и 2, чтобы получить 4.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-\left(9k^{4}-6k^{2}+1\right)\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Чтобы найти противоположное значение выражения 9k^{4}-6k^{2}+1, необходимо найти противоположное значение для каждого члена.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-9k^{4}+6k^{2}-1\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Объедините 6k^{4} и -9k^{4}, чтобы получить -3k^{4}.

$$4\left(-3k^{4}+12k^{2}+6+6k^{2}-1\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Объедините 12k^{2} и 6k^{2}, чтобы получить 18k^{2}.

$$4\left(-3k^{4}+18k^{2}+6-1\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Вычтите 1 из 6, чтобы получить 5.

$$4\left(-3k^{4}+18k^{2}+5\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Чтобы умножить 4 на -3k^{4}+18k^{2}+5, используйте свойство дистрибутивности.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(3k^{2}+1\right)^{2}.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=5\left(9\left(k^{2}\right)^{2}+6k^{2}+1\right)$$

Чтобы возвести степень в другую степень, перемножьте показатели. Перемножьте 2 и 2, чтобы получить 4.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=5\left(9k^{4}+6k^{2}+1\right)$$

Чтобы умножить 5 на 9k^{4}+6k^{2}+1, используйте свойство дистрибутивности.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=45k^{4}+30k^{2}+5$$

Вычтите 45k^{4} из обеих частей уравнения.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20-45k^{4}=30k^{2}+5$$

Объедините -12k^{4} и -45k^{4}, чтобы получить -57k^{4}.

$$-57k^{4}+72k^{2}+20=30k^{2}+5$$

Вычтите 30k^{2} из обеих частей уравнения.

$$-57k^{4}+72k^{2}+20-30k^{2}=5$$

Объедините 72k^{2} и -30k^{2}, чтобы получить 42k^{2}.

$$-57k^{4}+42k^{2}+20=5$$

Вычтите 5 из обеих частей уравнения.

$$-57k^{4}+42k^{2}+20-5=0$$

Вычтите 5 из 20, чтобы получить 15.

$$-57k^{4}+42k^{2}+15=0$$

Замените t на k^{2}.

$$-57t^{2}+42t+15=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замените в формуле корней квадратного уравнения a на -57, b на 42 и c на 15.

$$t=\frac{-42±\sqrt{42^{2}-4\left(-57\right)\times 15}}{-57\times 2}$$

Выполните арифметические операции.

$$t=\frac{-42±72}{-114}$$

Решение t=\frac{-42±72}{-114} уравнений, когда ±-плюс и когда ± — минус.

$$t=-\frac{5}{19} t=1$$

Так как k=t^{2}, получаемые решения см. при проверке k=±\sqrt{t} для положительных t.

$$k=1 k=-1$$