Решить frac{6+sqrt{27}}{4-sqrt{3}}

$$\frac { 6 + \sqrt { 27 } } { 4 - \sqrt { 3 } }$$

Вычислить

$$\frac{18\sqrt{3}+33}{13}\approx 4,936685734$$

Действия по решению

Разложите на множители выражение 27=3^{2}\times 3. Перепишите квадратный корень произведения \sqrt{3^{2}\times 3} как произведение квадратных корней \sqrt{3^{2}}\sqrt{3}. Извлеките квадратный корень из 3^{2}.

$$\frac{6+3\sqrt{3}}{4-\sqrt{3}}$$

Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби \frac{6+3\sqrt{3}}{4-\sqrt{3}}, умножив числитель и знаменатель на 4+\sqrt{3}.

$$\frac{\left(6+3\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}{\left(4-\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}$$

Учтите \left(4-\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right). Умножение можно преобразовать в разность квадратов с помощью следующего правила: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(6+3\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}{4^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Возведите 4 в квадрат. Возведите \sqrt{3} в квадрат.

$$\frac{\left(6+3\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}{16-3}$$

Вычтите 3 из 16, чтобы получить 13.

$$\frac{\left(6+3\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}{13}$$

Используйте свойство дистрибутивности, умножив каждый член 6+3\sqrt{3} на каждый член 4+\sqrt{3}.

$$\frac{24+6\sqrt{3}+12\sqrt{3}+3\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{13}$$

Объедините 6\sqrt{3} и 12\sqrt{3}, чтобы получить 18\sqrt{3}.

$$\frac{24+18\sqrt{3}+3\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{13}$$

Квадрат выражения \sqrt{3} равен 3.

$$\frac{24+18\sqrt{3}+3\times 3}{13}$$

Перемножьте 3 и 3, чтобы получить 9.

$$\frac{24+18\sqrt{3}+9}{13}$$

Чтобы вычислить 33, сложите 24 и 9.

$$\frac{33+18\sqrt{3}}{13}$$