Решить 4/x+4/x-6=1

$$\frac { 4 } { x } + \frac { 4 } { x - 6 } = 1$$

Найдите x

$$x=2$$

$$x=12$$

Способ разложения на множители путем группировки

Переменная x не может равняться ни одному из этих значений (0,6), так как деление на ноль не определено. Умножьте обе стороны уравнения на x\left(x-6\right), наименьшее общее кратное чисел x,x-6.

$$\left(x-6\right)\times 4+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Чтобы умножить x-6 на 4, используйте свойство дистрибутивности.

$$4x-24+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Объедините 4x и x\times 4, чтобы получить 8x.

$$8x-24=x\left(x-6\right)$$

Чтобы умножить x на x-6, используйте свойство дистрибутивности.

$$8x-24=x^{2}-6x$$

Вычтите x^{2} из обеих частей уравнения.

$$8x-24-x^{2}=-6x$$

Прибавьте 6x к обеим частям.

$$8x-24-x^{2}+6x=0$$

Объедините 8x и 6x, чтобы получить 14x.

$$14x-24-x^{2}=0$$

Приведите многочлен к стандартному виду. Разместите члены, начиная с члена с наибольшей степенью и заканчивая членом с наименьшей степенью.

$$-x^{2}+14x-24=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: -x^{2}+ax+bx-24. Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=14 ab=-\left(-24\right)=24$$

Поскольку ab положительное, a и b имеют одинаковый знак. Так как a+b положительное, a и b являются положительными. Перечислите все такие пары, содержащие 24 продукта.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 14.

$$a=12 b=2$$

Перепишите -x^{2}+14x-24 как \left(-x^{2}+12x\right)+\left(2x-24\right).

$$\left(-x^{2}+12x\right)+\left(2x-24\right)$$

Вынесите за скобки -x в первой и 2 во второй группе.

$$-x\left(x-12\right)+2\left(x-12\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-12, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-12\right)\left(-x+2\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-12=0 и -x+2=0.

$$x=12 x=2$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Переменная x не может равняться ни одному из этих значений (0,6), так как деление на ноль не определено. Умножьте обе стороны уравнения на x\left(x-6\right), наименьшее общее кратное чисел x,x-6.

$$\left(x-6\right)\times 4+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Чтобы умножить x-6 на 4, используйте свойство дистрибутивности.

$$4x-24+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Объедините 4x и x\times 4, чтобы получить 8x.

$$8x-24=x\left(x-6\right)$$

Чтобы умножить x на x-6, используйте свойство дистрибутивности.

$$8x-24=x^{2}-6x$$

Вычтите x^{2} из обеих частей уравнения.

$$8x-24-x^{2}=-6x$$

Прибавьте 6x к обеим частям.

$$8x-24-x^{2}+6x=0$$

Объедините 8x и 6x, чтобы получить 14x.

$$14x-24-x^{2}=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-x^{2}+14x-24=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -1 вместо a, 14 вместо b и -24 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\left(-1\right)\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Возведите 14 в квадрат.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\left(-1\right)\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте -4 на -1.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+4\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 4 на -24.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-96}}{2\left(-1\right)}$$

Прибавьте 196 к -96.

$$x=\frac{-14±\sqrt{100}}{2\left(-1\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 100.

$$x=\frac{-14±10}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 2 на -1.

$$x=\frac{-14±10}{-2}$$

Решите уравнение x=\frac{-14±10}{-2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -14 к 10.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

Разделите -4 на -2.

$$x=2$$

Решите уравнение x=\frac{-14±10}{-2} при условии, что ± — минус. Вычтите 10 из -14.

$$x=-\frac{24}{-2}$$

Разделите -24 на -2.

$$x=12$$

Уравнение решено.

$$x=2 x=12$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Переменная x не может равняться ни одному из этих значений (0,6), так как деление на ноль не определено. Умножьте обе стороны уравнения на x\left(x-6\right), наименьшее общее кратное чисел x,x-6.

$$\left(x-6\right)\times 4+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Чтобы умножить x-6 на 4, используйте свойство дистрибутивности.

$$4x-24+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Объедините 4x и x\times 4, чтобы получить 8x.

$$8x-24=x\left(x-6\right)$$

Чтобы умножить x на x-6, используйте свойство дистрибутивности.

$$8x-24=x^{2}-6x$$

Вычтите x^{2} из обеих частей уравнения.

$$8x-24-x^{2}=-6x$$

Прибавьте 6x к обеим частям.

$$8x-24-x^{2}+6x=0$$

Объедините 8x и 6x, чтобы получить 14x.

$$14x-24-x^{2}=0$$

Прибавьте 24 к обеим частям. Если прибавить к любому числу ноль, то это число не изменится.

$$14x-x^{2}=24$$

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+14x=24$$

Разделите обе части на -1.

$$\frac{-x^{2}+14x}{-1}=\frac{24}{-1}$$

Деление на -1 аннулирует операцию умножения на -1.

$$x^{2}+\frac{14}{-1}x=\frac{24}{-1}$$

Разделите 14 на -1.

$$x^{2}-14x=\frac{24}{-1}$$

Разделите 24 на -1.

$$x^{2}-14x=-24$$

Разделите -14, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится -7. Затем добавьте квадрат -7 в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}-14x+\left(-7\right)^{2}=-24+\left(-7\right)^{2}$$

Возведите -7 в квадрат.

$$x^{2}-14x+49=-24+49$$

Прибавьте -24 к 49.

$$x^{2}-14x+49=25$$

Разложите x^{2}-14x+49 на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-7\right)^{2}=25$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-7\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Упростите.

$$x-7=5 x-7=-5$$

Прибавьте 7 к обеим частям уравнения.

$$x=12 x=2$$