Решить 4/x+2+3/x-1

$$\frac { 4 } { x + 2 } + \frac { 3 } { x - 1 }$$

Вычислить

$$\frac{7x+2}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}$$

Краткая последовательность решения

Чтобы выполнить сложение или вычитание нескольких выражений, приведите их к одному знаменателю. Наименьшее общее кратное чисел x+2 и x-1 равно \left(x-1\right)\left(x+2\right). Умножьте \frac{4}{x+2} на \frac{x-1}{x-1}. Умножьте \frac{3}{x-1} на \frac{x+2}{x+2}.

$$\frac{4\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}+\frac{3\left(x+2\right)}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}$$

Поскольку числа \frac{4\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)} и \frac{3\left(x+2\right)}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)} имеют одинаковый знаменатель, выполните операцию сложения с помощью числителей.

$$\frac{4\left(x-1\right)+3\left(x+2\right)}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}$$

Выполните умножение в 4\left(x-1\right)+3\left(x+2\right).

$$\frac{4x-4+3x+6}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}$$

Приведите подобные члены в 4x-4+3x+6.

$$\frac{7x+2}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}$$

Разложите \left(x-1\right)\left(x+2\right).

$$\frac{7x+2}{x^{2}+x-2}$$

Дифференцировать по x

$$-\frac{7x^{2}+4x+16}{\left(\left(x-1\right)\left(x+2\right)\right)^{2}}$$

Действия с использованием правила производной для частного

Чтобы выполнить сложение или вычитание нескольких выражений, приведите их к одному знаменателю. Наименьшее общее кратное чисел x+2 и x-1 равно \left(x-1\right)\left(x+2\right). Умножьте \frac{4}{x+2} на \frac{x-1}{x-1}. Умножьте \frac{3}{x-1} на \frac{x+2}{x+2}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{4\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}+\frac{3\left(x+2\right)}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)})$$

Поскольку числа \frac{4\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)} и \frac{3\left(x+2\right)}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)} имеют одинаковый знаменатель, выполните операцию сложения с помощью числителей.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{4\left(x-1\right)+3\left(x+2\right)}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)})$$

Выполните умножение в 4\left(x-1\right)+3\left(x+2\right).

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{4x-4+3x+6}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)})$$

Приведите подобные члены в 4x-4+3x+6.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{7x+2}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)})$$

Используйте свойство дистрибутивности, умножив каждый член x-1 на каждый член x+2.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{7x+2}{x^{2}+2x-x-2})$$

Объедините 2x и -x, чтобы получить x.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{7x+2}{x^{2}+x-2})$$

Для двух любых дифференцируемых функций производная частного этих функций равна разности произведения знаменателя и производной числителя и произведения числителя и производной знаменателя, деленной на квадрат знаменателя.

$$\frac{\left(x^{2}+x^{1}-2\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(7x^{1}+2)-\left(7x^{1}+2\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{2}+x^{1}-2)}{\left(x^{2}+x^{1}-2\right)^{2}}$$

Производная многочлена равна сумме производных его членов. Производная любой константы равна 0. Производная ax^{n} равна nax^{n-1}.

$$\frac{\left(x^{2}+x^{1}-2\right)\times 7x^{1-1}-\left(7x^{1}+2\right)\left(2x^{2-1}+x^{1-1}\right)}{\left(x^{2}+x^{1}-2\right)^{2}}$$

Упростите.

$$\frac{\left(x^{2}+x^{1}-2\right)\times 7x^{0}-\left(7x^{1}+2\right)\left(2x^{1}+x^{0}\right)}{\left(x^{2}+x^{1}-2\right)^{2}}$$

Умножьте x^{2}+x^{1}-2 на 7x^{0}.

$$\frac{x^{2}\times 7x^{0}+x^{1}\times 7x^{0}-2\times 7x^{0}-\left(7x^{1}+2\right)\left(2x^{1}+x^{0}\right)}{\left(x^{2}+x^{1}-2\right)^{2}}$$

Умножьте 7x^{1}+2 на 2x^{1}+x^{0}.

$$\frac{x^{2}\times 7x^{0}+x^{1}\times 7x^{0}-2\times 7x^{0}-\left(7x^{1}\times 2x^{1}+7x^{1}x^{0}+2\times 2x^{1}+2x^{0}\right)}{\left(x^{2}+x^{1}-2\right)^{2}}$$

Чтобы перемножить степени с одинаковым основанием, сложите их показатели.

$$\frac{7x^{2}+7x^{1}-2\times 7x^{0}-\left(7\times 2x^{1+1}+7x^{1}+2\times 2x^{1}+2x^{0}\right)}{\left(x^{2}+x^{1}-2\right)^{2}}$$

Упростите.

$$\frac{7x^{2}+7x^{1}-14x^{0}-\left(14x^{2}+7x^{1}+4x^{1}+2x^{0}\right)}{\left(x^{2}+x^{1}-2\right)^{2}}$$

Объедините подобные члены.

$$\frac{-7x^{2}-4x^{1}-16x^{0}}{\left(x^{2}+x^{1}-2\right)^{2}}$$

Для любого члена t, t^{1}=t.

$$\frac{-7x^{2}-4x-16x^{0}}{\left(x^{2}+x-2\right)^{2}}$$

Для любого члена t, за исключением 0, t^{0}=1.

$$\frac{-7x^{2}-4x-16}{\left(x^{2}+x-2\right)^{2}}$$