Решить frac{31sqrt{2}+31sqrt{5}}{2sqrt{10}-3}-frac{62sqrt{2}}{3-2sqrt{10}}

$$\frac { 31 \sqrt { 2 } + 31 \sqrt { 5 } } { 2 \sqrt { 10 } - 3 } - \frac { 62 \sqrt { 2 } } { 3 - 2 \sqrt { 10 } }$$

Вычислить

$$15\sqrt{5}+19\sqrt{2}\approx 60,411077348$$

Действия по решению

Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби \frac{31\sqrt{2}+31\sqrt{5}}{2\sqrt{10}-3}, умножив числитель и знаменатель на 2\sqrt{10}+3.

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{\left(2\sqrt{10}-3\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}-\frac{62\sqrt{2}}{3-2\sqrt{10}}$$

Учтите \left(2\sqrt{10}-3\right)\left(2\sqrt{10}+3\right). Умножение можно преобразовать в разность квадратов с помощью следующего правила: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{\left(2\sqrt{10}\right)^{2}-3^{2}}-\frac{62\sqrt{2}}{3-2\sqrt{10}}$$

Разложите \left(2\sqrt{10}\right)^{2}.

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{2^{2}\left(\sqrt{10}\right)^{2}-3^{2}}-\frac{62\sqrt{2}}{3-2\sqrt{10}}$$

Вычислите 2 в степени 2 и получите 4.

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{4\left(\sqrt{10}\right)^{2}-3^{2}}-\frac{62\sqrt{2}}{3-2\sqrt{10}}$$

Квадрат выражения \sqrt{10} равен 10.

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{4\times 10-3^{2}}-\frac{62\sqrt{2}}{3-2\sqrt{10}}$$

Перемножьте 4 и 10, чтобы получить 40.

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{40-3^{2}}-\frac{62\sqrt{2}}{3-2\sqrt{10}}$$

Вычислите 3 в степени 2 и получите 9.

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{40-9}-\frac{62\sqrt{2}}{3-2\sqrt{10}}$$

Вычтите 9 из 40, чтобы получить 31.

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{31}-\frac{62\sqrt{2}}{3-2\sqrt{10}}$$

Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби \frac{62\sqrt{2}}{3-2\sqrt{10}}, умножив числитель и знаменатель на 3+2\sqrt{10}.

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{31}-\frac{62\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)}{\left(3-2\sqrt{10}\right)\left(3+2\sqrt{10}\right)}$$

Учтите \left(3-2\sqrt{10}\right)\left(3+2\sqrt{10}\right). Умножение можно преобразовать в разность квадратов с помощью следующего правила: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{31}-\frac{62\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)}{3^{2}-\left(-2\sqrt{10}\right)^{2}}$$

Вычислите 3 в степени 2 и получите 9.

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{31}-\frac{62\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)}{9-\left(-2\sqrt{10}\right)^{2}}$$

Разложите \left(-2\sqrt{10}\right)^{2}.

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{31}-\frac{62\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)}{9-\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{10}\right)^{2}}$$

Вычислите -2 в степени 2 и получите 4.

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{31}-\frac{62\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)}{9-4\left(\sqrt{10}\right)^{2}}$$

Квадрат выражения \sqrt{10} равен 10.

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{31}-\frac{62\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)}{9-4\times 10}$$

Перемножьте 4 и 10, чтобы получить 40.

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{31}-\frac{62\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)}{9-40}$$

Вычтите 40 из 9, чтобы получить -31.

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{31}-\frac{62\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)}{-31}$$

Разделите 62\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right) на -31, чтобы получить -2\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right).

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{31}-\left(-2\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)\right)$$

Число, противоположное -2\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right), равно 2\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right).

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{31}+2\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)$$

Используйте свойство дистрибутивности, умножив каждый член 31\sqrt{2}+31\sqrt{5} на каждый член 2\sqrt{10}+3.

$$\frac{62\sqrt{10}\sqrt{2}+93\sqrt{2}+62\sqrt{5}\sqrt{10}+93\sqrt{5}}{31}+2\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)$$

Разложите на множители выражение 10=2\times 5. Перепишите квадратный корень произведения \sqrt{2\times 5} как произведение квадратных корней \sqrt{2}\sqrt{5}.

$$\frac{62\sqrt{2}\sqrt{5}\sqrt{2}+93\sqrt{2}+62\sqrt{5}\sqrt{10}+93\sqrt{5}}{31}+2\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)$$

Перемножьте \sqrt{2} и \sqrt{2}, чтобы получить 2.

$$\frac{62\times 2\sqrt{5}+93\sqrt{2}+62\sqrt{5}\sqrt{10}+93\sqrt{5}}{31}+2\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)$$

Перемножьте 62 и 2, чтобы получить 124.

$$\frac{124\sqrt{5}+93\sqrt{2}+62\sqrt{5}\sqrt{10}+93\sqrt{5}}{31}+2\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)$$

Разложите на множители выражение 10=5\times 2. Перепишите квадратный корень произведения \sqrt{5\times 2} как произведение квадратных корней \sqrt{5}\sqrt{2}.

$$\frac{124\sqrt{5}+93\sqrt{2}+62\sqrt{5}\sqrt{5}\sqrt{2}+93\sqrt{5}}{31}+2\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)$$

Перемножьте \sqrt{5} и \sqrt{5}, чтобы получить 5.

$$\frac{124\sqrt{5}+93\sqrt{2}+62\times 5\sqrt{2}+93\sqrt{5}}{31}+2\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)$$

Перемножьте 62 и 5, чтобы получить 310.

$$\frac{124\sqrt{5}+93\sqrt{2}+310\sqrt{2}+93\sqrt{5}}{31}+2\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)$$

Объедините 93\sqrt{2} и 310\sqrt{2}, чтобы получить 403\sqrt{2}.

$$\frac{124\sqrt{5}+403\sqrt{2}+93\sqrt{5}}{31}+2\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)$$

Объедините 124\sqrt{5} и 93\sqrt{5}, чтобы получить 217\sqrt{5}.

$$\frac{217\sqrt{5}+403\sqrt{2}}{31}+2\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)$$

Разделите каждый член 217\sqrt{5}+403\sqrt{2} на 31, чтобы получить 7\sqrt{5}+13\sqrt{2}.

$$7\sqrt{5}+13\sqrt{2}+2\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)$$

Чтобы умножить 2\sqrt{2} на 3+2\sqrt{10}, используйте свойство дистрибутивности.

$$7\sqrt{5}+13\sqrt{2}+6\sqrt{2}+4\sqrt{10}\sqrt{2}$$

Разложите на множители выражение 10=2\times 5. Перепишите квадратный корень произведения \sqrt{2\times 5} как произведение квадратных корней \sqrt{2}\sqrt{5}.

$$7\sqrt{5}+13\sqrt{2}+6\sqrt{2}+4\sqrt{2}\sqrt{5}\sqrt{2}$$

Перемножьте \sqrt{2} и \sqrt{2}, чтобы получить 2.

$$7\sqrt{5}+13\sqrt{2}+6\sqrt{2}+4\times 2\sqrt{5}$$

Перемножьте 4 и 2, чтобы получить 8.

$$7\sqrt{5}+13\sqrt{2}+6\sqrt{2}+8\sqrt{5}$$

Объедините 13\sqrt{2} и 6\sqrt{2}, чтобы получить 19\sqrt{2}.

$$7\sqrt{5}+19\sqrt{2}+8\sqrt{5}$$

Объедините 7\sqrt{5} и 8\sqrt{5}, чтобы получить 15\sqrt{5}.

$$15\sqrt{5}+19\sqrt{2}$$

Разложить на множители

$$15 \sqrt{5} + 19 \sqrt{2} = 60,411077348$$