Решить 30/x^2+5x+6-x/x+2=2x+1/x+3

$$\frac { 30 } { x ^ { 2 } + 5 x + 6 } - \frac { x } { x + 2 } = \frac { 2 x + 1 } { x + 3 }$$

Найдите x

$$x = -\frac{14}{3} = -4\frac{2}{3} \approx -4,666666667$$

$$x=2$$

Способ разложения на множители путем группировки

Переменная x не может равняться ни одному из этих значений (-3,-2), так как деление на ноль не определено. Умножьте обе стороны уравнения на \left(x+2\right)\left(x+3\right), наименьшее общее кратное чисел x^{2}+5x+6,x+2,x+3.

$$30-\left(x+3\right)x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Чтобы умножить x+3 на x, используйте свойство дистрибутивности.

$$30-\left(x^{2}+3x\right)=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Чтобы найти противоположное значение выражения x^{2}+3x, необходимо найти противоположное значение для каждого члена.

$$30-x^{2}-3x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Чтобы умножить x+2 на 2x+1, используйте свойство дистрибутивности и приведение подобных.

$$30-x^{2}-3x=2x^{2}+5x+2$$

Вычтите 2x^{2} из обеих частей уравнения.

$$30-x^{2}-3x-2x^{2}=5x+2$$

Объедините -x^{2} и -2x^{2}, чтобы получить -3x^{2}.

$$30-3x^{2}-3x=5x+2$$

Вычтите 5x из обеих частей уравнения.

$$30-3x^{2}-3x-5x=2$$

Объедините -3x и -5x, чтобы получить -8x.

$$30-3x^{2}-8x=2$$

Вычтите 2 из обеих частей уравнения.

$$30-3x^{2}-8x-2=0$$

Вычтите 2 из 30, чтобы получить 28.

$$28-3x^{2}-8x=0$$

Приведите многочлен к стандартному виду. Разместите члены, начиная с члена с наибольшей степенью и заканчивая членом с наименьшей степенью.

$$-3x^{2}-8x+28=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: -3x^{2}+ax+bx+28. Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=-8 ab=-3\times 28=-84$$

Так как ab отрицательный, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары, содержащие -84 продукта.

$$1,-84 2,-42 3,-28 4,-21 6,-14 7,-12$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-84=-83 2-42=-40 3-28=-25 4-21=-17 6-14=-8 7-12=-5$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -8.

$$a=6 b=-14$$

Перепишите -3x^{2}-8x+28 как \left(-3x^{2}+6x\right)+\left(-14x+28\right).

$$\left(-3x^{2}+6x\right)+\left(-14x+28\right)$$

Вынесите за скобки 3x в первой и 14 во второй группе.

$$3x\left(-x+2\right)+14\left(-x+2\right)$$

Вынесите за скобки общий член -x+2, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(-x+2\right)\left(3x+14\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите -x+2=0 и 3x+14=0.

$$x=2 x=-\frac{14}{3}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Переменная x не может равняться ни одному из этих значений (-3,-2), так как деление на ноль не определено. Умножьте обе стороны уравнения на \left(x+2\right)\left(x+3\right), наименьшее общее кратное чисел x^{2}+5x+6,x+2,x+3.

$$30-\left(x+3\right)x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Чтобы умножить x+3 на x, используйте свойство дистрибутивности.

$$30-\left(x^{2}+3x\right)=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Чтобы найти противоположное значение выражения x^{2}+3x, необходимо найти противоположное значение для каждого члена.

$$30-x^{2}-3x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Чтобы умножить x+2 на 2x+1, используйте свойство дистрибутивности и приведение подобных.

$$30-x^{2}-3x=2x^{2}+5x+2$$

Вычтите 2x^{2} из обеих частей уравнения.

$$30-x^{2}-3x-2x^{2}=5x+2$$

Объедините -x^{2} и -2x^{2}, чтобы получить -3x^{2}.

$$30-3x^{2}-3x=5x+2$$

Вычтите 5x из обеих частей уравнения.

$$30-3x^{2}-3x-5x=2$$

Объедините -3x и -5x, чтобы получить -8x.

$$30-3x^{2}-8x=2$$

Вычтите 2 из обеих частей уравнения.

$$30-3x^{2}-8x-2=0$$

Вычтите 2 из 30, чтобы получить 28.

$$28-3x^{2}-8x=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-3x^{2}-8x+28=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -3 вместо a, -8 вместо b и 28 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 28}}{2\left(-3\right)}$$

Возведите -8 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\left(-3\right)\times 28}}{2\left(-3\right)}$$

Умножьте -4 на -3.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+12\times 28}}{2\left(-3\right)}$$

Умножьте 12 на 28.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+336}}{2\left(-3\right)}$$

Прибавьте 64 к 336.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{400}}{2\left(-3\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 400.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±20}{2\left(-3\right)}$$

Число, противоположное -8, равно 8.

$$x=\frac{8±20}{2\left(-3\right)}$$

Умножьте 2 на -3.

$$x=\frac{8±20}{-6}$$

Решите уравнение x=\frac{8±20}{-6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 8 к 20.

$$x=\frac{28}{-6}$$

Привести дробь \frac{28}{-6} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=-\frac{14}{3}$$

Решите уравнение x=\frac{8±20}{-6} при условии, что ± — минус. Вычтите 20 из 8.

$$x=-\frac{12}{-6}$$

Разделите -12 на -6.

$$x=2$$

Уравнение решено.

$$x=-\frac{14}{3} x=2$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Переменная x не может равняться ни одному из этих значений (-3,-2), так как деление на ноль не определено. Умножьте обе стороны уравнения на \left(x+2\right)\left(x+3\right), наименьшее общее кратное чисел x^{2}+5x+6,x+2,x+3.

$$30-\left(x+3\right)x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Чтобы умножить x+3 на x, используйте свойство дистрибутивности.

$$30-\left(x^{2}+3x\right)=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Чтобы найти противоположное значение выражения x^{2}+3x, необходимо найти противоположное значение для каждого члена.

$$30-x^{2}-3x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Чтобы умножить x+2 на 2x+1, используйте свойство дистрибутивности и приведение подобных.

$$30-x^{2}-3x=2x^{2}+5x+2$$

Вычтите 2x^{2} из обеих частей уравнения.

$$30-x^{2}-3x-2x^{2}=5x+2$$

Объедините -x^{2} и -2x^{2}, чтобы получить -3x^{2}.

$$30-3x^{2}-3x=5x+2$$

Вычтите 5x из обеих частей уравнения.

$$30-3x^{2}-3x-5x=2$$

Объедините -3x и -5x, чтобы получить -8x.

$$30-3x^{2}-8x=2$$

Вычтите 30 из обеих частей уравнения.

$$-3x^{2}-8x=2-30$$

Вычтите 30 из 2, чтобы получить -28.

$$-3x^{2}-8x=-28$$

Разделите обе части на -3.

$$\frac{-3x^{2}-8x}{-3}=-\frac{28}{-3}$$

Деление на -3 аннулирует операцию умножения на -3.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{-3}\right)x=-\frac{28}{-3}$$

Разделите -8 на -3.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=-\frac{28}{-3}$$

Разделите -28 на -3.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=\frac{28}{3}$$

Разделите \frac{8}{3}, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится \frac{4}{3}. Затем добавьте квадрат \frac{4}{3} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{28}{3}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Возведите \frac{4}{3} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{28}{3}+\frac{16}{9}$$

Прибавьте \frac{28}{3} к \frac{16}{9}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{100}{9}$$

Разложите x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

Упростите.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{10}{3} x+\frac{4}{3}=-\frac{10}{3}$$

Вычтите \frac{4}{3} из обеих частей уравнения.

$$x=2 x=-\frac{14}{3}$$