Решить 3/3m+4/2m+12

$$\frac { 3 } { 3 m } + \frac { 4 } { 2 m + 12 }$$

Вычислить

$$\frac{3\left(m+2\right)}{m\left(m+6\right)}$$

Краткая последовательность решения

Разложите на множители выражение 2m+12.

$$\frac{3}{3m}+\frac{4}{2\left(m+6\right)}$$

Чтобы выполнить сложение или вычитание нескольких выражений, приведите их к одному знаменателю. Наименьшее общее кратное чисел 3m и 2\left(m+6\right) равно 6m\left(m+6\right). Умножьте \frac{3}{3m} на \frac{2\left(m+6\right)}{2\left(m+6\right)}. Умножьте \frac{4}{2\left(m+6\right)} на \frac{3m}{3m}.

$$\frac{3\times 2\left(m+6\right)}{6m\left(m+6\right)}+\frac{4\times 3m}{6m\left(m+6\right)}$$

Поскольку числа \frac{3\times 2\left(m+6\right)}{6m\left(m+6\right)} и \frac{4\times 3m}{6m\left(m+6\right)} имеют одинаковый знаменатель, выполните операцию сложения с помощью числителей.

$$\frac{3\times 2\left(m+6\right)+4\times 3m}{6m\left(m+6\right)}$$

Выполните умножение в 3\times 2\left(m+6\right)+4\times 3m.

$$\frac{6m+36+12m}{6m\left(m+6\right)}$$

Приведите подобные члены в 6m+36+12m.

$$\frac{18m+36}{6m\left(m+6\right)}$$

Разложите на множители еще не разложенные выражения в формуле \frac{18m+36}{6m\left(m+6\right)}.

$$\frac{18\left(m+2\right)}{6m\left(m+6\right)}$$

Сократите 6 в числителе и знаменателе.

$$\frac{3\left(m+2\right)}{m\left(m+6\right)}$$

Разложите m\left(m+6\right).

$$\frac{3\left(m+2\right)}{m^{2}+6m}$$

Чтобы умножить 3 на m+2, используйте свойство дистрибутивности.

$$\frac{3m+6}{m^{2}+6m}$$

Дифференцировать по m

$$-\frac{3\left(m^{2}+4m+12\right)}{\left(m\left(m+6\right)\right)^{2}}$$

Действия с использованием правила производной для частного

Разложите на множители выражение 2m+12.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}m}(\frac{3}{3m}+\frac{4}{2\left(m+6\right)})$$

Чтобы выполнить сложение или вычитание нескольких выражений, приведите их к одному знаменателю. Наименьшее общее кратное чисел 3m и 2\left(m+6\right) равно 6m\left(m+6\right). Умножьте \frac{3}{3m} на \frac{2\left(m+6\right)}{2\left(m+6\right)}. Умножьте \frac{4}{2\left(m+6\right)} на \frac{3m}{3m}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}m}(\frac{3\times 2\left(m+6\right)}{6m\left(m+6\right)}+\frac{4\times 3m}{6m\left(m+6\right)})$$

Поскольку числа \frac{3\times 2\left(m+6\right)}{6m\left(m+6\right)} и \frac{4\times 3m}{6m\left(m+6\right)} имеют одинаковый знаменатель, выполните операцию сложения с помощью числителей.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}m}(\frac{3\times 2\left(m+6\right)+4\times 3m}{6m\left(m+6\right)})$$

Выполните умножение в 3\times 2\left(m+6\right)+4\times 3m.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}m}(\frac{6m+36+12m}{6m\left(m+6\right)})$$

Приведите подобные члены в 6m+36+12m.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}m}(\frac{18m+36}{6m\left(m+6\right)})$$

Разложите на множители еще не разложенные выражения в формуле \frac{18m+36}{6m\left(m+6\right)}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}m}(\frac{18\left(m+2\right)}{6m\left(m+6\right)})$$

Сократите 6 в числителе и знаменателе.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}m}(\frac{3\left(m+2\right)}{m\left(m+6\right)})$$

Чтобы умножить 3 на m+2, используйте свойство дистрибутивности.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}m}(\frac{3m+6}{m\left(m+6\right)})$$

Чтобы умножить m на m+6, используйте свойство дистрибутивности.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}m}(\frac{3m+6}{m^{2}+6m})$$

Для двух любых дифференцируемых функций производная частного этих функций равна разности произведения знаменателя и производной числителя и произведения числителя и производной знаменателя, деленной на квадрат знаменателя.

$$\frac{\left(m^{2}+6m^{1}\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}m}(3m^{1}+6)-\left(3m^{1}+6\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}m}(m^{2}+6m^{1})}{\left(m^{2}+6m^{1}\right)^{2}}$$

Производная многочлена равна сумме производных его членов. Производная любой константы равна 0. Производная ax^{n} равна nax^{n-1}.

$$\frac{\left(m^{2}+6m^{1}\right)\times 3m^{1-1}-\left(3m^{1}+6\right)\left(2m^{2-1}+6m^{1-1}\right)}{\left(m^{2}+6m^{1}\right)^{2}}$$

Упростите.

$$\frac{\left(m^{2}+6m^{1}\right)\times 3m^{0}-\left(3m^{1}+6\right)\left(2m^{1}+6m^{0}\right)}{\left(m^{2}+6m^{1}\right)^{2}}$$

Умножьте m^{2}+6m^{1} на 3m^{0}.

$$\frac{m^{2}\times 3m^{0}+6m^{1}\times 3m^{0}-\left(3m^{1}+6\right)\left(2m^{1}+6m^{0}\right)}{\left(m^{2}+6m^{1}\right)^{2}}$$

Умножьте 3m^{1}+6 на 2m^{1}+6m^{0}.

$$\frac{m^{2}\times 3m^{0}+6m^{1}\times 3m^{0}-\left(3m^{1}\times 2m^{1}+3m^{1}\times 6m^{0}+6\times 2m^{1}+6\times 6m^{0}\right)}{\left(m^{2}+6m^{1}\right)^{2}}$$

Чтобы перемножить степени с одинаковым основанием, сложите их показатели.

$$\frac{3m^{2}+6\times 3m^{1}-\left(3\times 2m^{1+1}+3\times 6m^{1}+6\times 2m^{1}+6\times 6m^{0}\right)}{\left(m^{2}+6m^{1}\right)^{2}}$$

Упростите.

$$\frac{3m^{2}+18m^{1}-\left(6m^{2}+18m^{1}+12m^{1}+36m^{0}\right)}{\left(m^{2}+6m^{1}\right)^{2}}$$

Объедините подобные члены.

$$\frac{-3m^{2}-12m^{1}-36m^{0}}{\left(m^{2}+6m^{1}\right)^{2}}$$

Для любого члена t, t^{1}=t.

$$\frac{-3m^{2}-12m-36m^{0}}{\left(m^{2}+6m\right)^{2}}$$

Для любого члена t, за исключением 0, t^{0}=1.

$$\frac{-3m^{2}-12m-36}{\left(m^{2}+6m\right)^{2}}$$