Решить 2r/r^2-1-1/r+1

$$\frac { 2 r } { r ^ { 2 } - 1 } - \frac { 1 } { r + 1 }$$

Вычислить

$$\frac{1}{r-1}$$

Краткая последовательность решения

Разложите на множители выражение r^{2}-1.

$$\frac{2r}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}-\frac{1}{r+1}$$

Чтобы выполнить сложение или вычитание нескольких выражений, приведите их к одному знаменателю. Наименьшее общее кратное чисел \left(r-1\right)\left(r+1\right) и r+1 равно \left(r-1\right)\left(r+1\right). Умножьте \frac{1}{r+1} на \frac{r-1}{r-1}.

$$\frac{2r}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}-\frac{r-1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}$$

Поскольку числа \frac{2r}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)} и \frac{r-1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)} имеют одинаковый знаменатель, выполните операцию вычитания с помощью числителей.

$$\frac{2r-\left(r-1\right)}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}$$

Выполните умножение в 2r-\left(r-1\right).

$$\frac{2r-r+1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}$$

Приведите подобные члены в 2r-r+1.

$$\frac{r+1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}$$

Сократите r+1 в числителе и знаменателе.

$$\frac{1}{r-1}$$

Дифференцировать по r

$$-\frac{1}{\left(r-1\right)^{2}}$$

Действия с использованием цепного правила

Разложите на множители выражение r^{2}-1.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(\frac{2r}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}-\frac{1}{r+1})$$

Чтобы выполнить сложение или вычитание нескольких выражений, приведите их к одному знаменателю. Наименьшее общее кратное чисел \left(r-1\right)\left(r+1\right) и r+1 равно \left(r-1\right)\left(r+1\right). Умножьте \frac{1}{r+1} на \frac{r-1}{r-1}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(\frac{2r}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}-\frac{r-1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)})$$

Поскольку числа \frac{2r}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)} и \frac{r-1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)} имеют одинаковый знаменатель, выполните операцию вычитания с помощью числителей.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(\frac{2r-\left(r-1\right)}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)})$$

Выполните умножение в 2r-\left(r-1\right).

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(\frac{2r-r+1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)})$$

Приведите подобные члены в 2r-r+1.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(\frac{r+1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)})$$

Сократите r+1 в числителе и знаменателе.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(\frac{1}{r-1})$$

Если F является композицией двух дифференцируемых функций f\left(u\right) и u=g\left(x\right), то есть если F\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right), то производная F равна произведению производной f по u и производной g по x, то есть \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(F)\left(x\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)\left(g\left(x\right)\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(g)\left(x\right).

$$-\left(r^{1}-1\right)^{-1-1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(r^{1}-1)$$

Производная многочлена равна сумме производных его членов. Производная любой константы равна 0. Производная ax^{n} равна nax^{n-1}.

$$-\left(r^{1}-1\right)^{-2}r^{1-1}$$

Упростите.

$$-r^{0}\left(r^{1}-1\right)^{-2}$$

Для любого члена t, t^{1}=t.

$$-r^{0}\left(r-1\right)^{-2}$$

Для любого члена t, за исключением 0, t^{0}=1.

$$-\left(r-1\right)^{-2}$$