Решить 2/x-2+3/x+2

$$\frac { 2 } { x - 2 } + \frac { 3 } { x + 2 }$$

Вычислить

$$\frac{5x-2}{x^{2}-4}$$

Краткая последовательность решения

Чтобы выполнить сложение или вычитание нескольких выражений, приведите их к одному знаменателю. Наименьшее общее кратное чисел x-2 и x+2 равно \left(x-2\right)\left(x+2\right). Умножьте \frac{2}{x-2} на \frac{x+2}{x+2}. Умножьте \frac{3}{x+2} на \frac{x-2}{x-2}.

$$\frac{2\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}+\frac{3\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$$

Поскольку числа \frac{2\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)} и \frac{3\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)} имеют одинаковый знаменатель, выполните операцию сложения с помощью числителей.

$$\frac{2\left(x+2\right)+3\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$$

Выполните умножение в 2\left(x+2\right)+3\left(x-2\right).

$$\frac{2x+4+3x-6}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$$

Приведите подобные члены в 2x+4+3x-6.

$$\frac{5x-2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$$

Разложите \left(x-2\right)\left(x+2\right).

$$\frac{5x-2}{x^{2}-4}$$

Дифференцировать по x

$$\frac{-5x^{2}+4x-20}{\left(x^{2}-4\right)^{2}}$$

Действия с использованием правила производной для частного

Чтобы выполнить сложение или вычитание нескольких выражений, приведите их к одному знаменателю. Наименьшее общее кратное чисел x-2 и x+2 равно \left(x-2\right)\left(x+2\right). Умножьте \frac{2}{x-2} на \frac{x+2}{x+2}. Умножьте \frac{3}{x+2} на \frac{x-2}{x-2}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{2\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}+\frac{3\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)})$$

Поскольку числа \frac{2\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)} и \frac{3\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)} имеют одинаковый знаменатель, выполните операцию сложения с помощью числителей.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{2\left(x+2\right)+3\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)})$$

Выполните умножение в 2\left(x+2\right)+3\left(x-2\right).

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{2x+4+3x-6}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)})$$

Приведите подобные члены в 2x+4+3x-6.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{5x-2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)})$$

Учтите \left(x-2\right)\left(x+2\right). Умножение можно преобразовать в разность квадратов с помощью следующего правила: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{5x-2}{x^{2}-2^{2}})$$

Вычислите 2 в степени 2 и получите 4.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{5x-2}{x^{2}-4})$$

Для двух любых дифференцируемых функций производная частного этих функций равна разности произведения знаменателя и производной числителя и произведения числителя и производной знаменателя, деленной на квадрат знаменателя.

$$\frac{\left(x^{2}-4\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(5x^{1}-2)-\left(5x^{1}-2\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{2}-4)}{\left(x^{2}-4\right)^{2}}$$

Производная многочлена равна сумме производных его членов. Производная любой константы равна 0. Производная ax^{n} равна nax^{n-1}.

$$\frac{\left(x^{2}-4\right)\times 5x^{1-1}-\left(5x^{1}-2\right)\times 2x^{2-1}}{\left(x^{2}-4\right)^{2}}$$

Выполните арифметические операции.

$$\frac{\left(x^{2}-4\right)\times 5x^{0}-\left(5x^{1}-2\right)\times 2x^{1}}{\left(x^{2}-4\right)^{2}}$$

Разложите, используя свойство дистрибутивности.

$$\frac{x^{2}\times 5x^{0}-4\times 5x^{0}-\left(5x^{1}\times 2x^{1}-2\times 2x^{1}\right)}{\left(x^{2}-4\right)^{2}}$$

Чтобы перемножить степени с одинаковым основанием, сложите их показатели.

$$\frac{5x^{2}-4\times 5x^{0}-\left(5\times 2x^{1+1}-2\times 2x^{1}\right)}{\left(x^{2}-4\right)^{2}}$$

Выполните арифметические операции.

$$\frac{5x^{2}-20x^{0}-\left(10x^{2}-4x^{1}\right)}{\left(x^{2}-4\right)^{2}}$$

Удалите лишние скобки.

$$\frac{5x^{2}-20x^{0}-10x^{2}-\left(-4x^{1}\right)}{\left(x^{2}-4\right)^{2}}$$

Объедините подобные члены.

$$\frac{\left(5-10\right)x^{2}-20x^{0}-\left(-4x^{1}\right)}{\left(x^{2}-4\right)^{2}}$$

Вычтите 10 из 5.

$$\frac{-5x^{2}-20x^{0}-\left(-4x^{1}\right)}{\left(x^{2}-4\right)^{2}}$$

Для любого члена t, t^{1}=t.

$$\frac{-5x^{2}-20x^{0}-\left(-4x\right)}{\left(x^{2}-4\right)^{2}}$$

Для любого члена t, за исключением 0, t^{0}=1.

$$\frac{-5x^{2}-20-\left(-4x\right)}{\left(x^{2}-4\right)^{2}}$$