Решить frac{2+sqrt{5}}{2-sqrt{5}}

$$\frac { 2 + \sqrt { 5 } } { 2 - \sqrt { 5 } }$$

Вычислить

$$-4\sqrt{5}-9\approx -17,94427191$$

Действия по решению

Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби \frac{2+\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}}, умножив числитель и знаменатель на 2+\sqrt{5}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}$$

Учтите \left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right). Умножение можно преобразовать в разность квадратов с помощью следующего правила: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Возведите 2 в квадрат. Возведите \sqrt{5} в квадрат.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{4-5}$$

Вычтите 5 из 4, чтобы получить -1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{-1}$$

Перемножьте 2+\sqrt{5} и 2+\sqrt{5}, чтобы получить \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}$$

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}$$

Квадрат выражения \sqrt{5} равен 5.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+5}{-1}$$

Чтобы вычислить 9, сложите 4 и 5.

$$\frac{9+4\sqrt{5}}{-1}$$

В результате деления чего-либо на -1 получается его противоположное значение. Чтобы найти противоположное значение выражения 9+4\sqrt{5}, необходимо найти противоположное значение для каждого члена.

$$-9-4\sqrt{5}$$