Решить frac{2+sqrt{3}}{2-sqrt{3}}=a+bsqrt{3}

$$\frac { 2 + \sqrt { 3 } } { 2 - \sqrt { 3 } } = a + b \sqrt { 3 }$$

Найдите b

$$b=-\frac{\sqrt{3}\left(a-4\sqrt{3}-7\right)}{3}$$

Действия по решению линейного уравнения

Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}, умножив числитель и знаменатель на 2+\sqrt{3}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}=a+b\sqrt{3}$$

Учтите \left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right). Умножение можно преобразовать в разность квадратов с помощью следующего правила: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}=a+b\sqrt{3}$$

Возведите 2 в квадрат. Возведите \sqrt{3} в квадрат.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{4-3}=a+b\sqrt{3}$$

Вычтите 3 из 4, чтобы получить 1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{1}=a+b\sqrt{3}$$

При делении любого числа на единицу получается это же число.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)=a+b\sqrt{3}$$

Перемножьте 2+\sqrt{3} и 2+\sqrt{3}, чтобы получить \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}=a+b\sqrt{3}$$

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}=a+b\sqrt{3}$$

Квадрат выражения \sqrt{3} равен 3.

$$4+4\sqrt{3}+3=a+b\sqrt{3}$$

Чтобы вычислить 7, сложите 4 и 3.

$$7+4\sqrt{3}=a+b\sqrt{3}$$

Поменяйте стороны местами, чтобы все переменные члены находились в левой части.

$$a+b\sqrt{3}=7+4\sqrt{3}$$

Вычтите a из обеих частей уравнения.

$$b\sqrt{3}=7+4\sqrt{3}-a$$

Уравнение имеет стандартный вид.

$$\sqrt{3}b=-a+4\sqrt{3}+7$$

Разделите обе части на \sqrt{3}.

$$\frac{\sqrt{3}b}{\sqrt{3}}=\frac{-a+4\sqrt{3}+7}{\sqrt{3}}$$

Деление на \sqrt{3} аннулирует операцию умножения на \sqrt{3}.

$$b=\frac{-a+4\sqrt{3}+7}{\sqrt{3}}$$

Разделите 4\sqrt{3}-a+7 на \sqrt{3}.

$$b=\frac{\sqrt{3}\left(-a+4\sqrt{3}+7\right)}{3}$$

Найдите a

$$a=-\sqrt{3}b+4\sqrt{3}+7$$