Решить 168/x-168/x+14=1

$$\frac { 168 } { x } - \frac { 168 } { x + 14 } = 1$$

Найдите x

$$x=-56$$

$$x=42$$

Способ разложения на множители путем группировки

Переменная x не может равняться ни одному из этих значений (-14,0), так как деление на ноль не определено. Умножьте обе стороны уравнения на x\left(x+14\right), наименьшее общее кратное чисел x,x+14.

$$\left(x+14\right)\times 168-x\times 168=x\left(x+14\right)$$

Чтобы умножить x+14 на 168, используйте свойство дистрибутивности.

$$168x+2352-x\times 168=x\left(x+14\right)$$

Чтобы умножить x на x+14, используйте свойство дистрибутивности.

$$168x+2352-x\times 168=x^{2}+14x$$

Вычтите x^{2} из обеих частей уравнения.

$$168x+2352-x\times 168-x^{2}=14x$$

Вычтите 14x из обеих частей уравнения.

$$168x+2352-x\times 168-x^{2}-14x=0$$

Объедините 168x и -14x, чтобы получить 154x.

$$154x+2352-x\times 168-x^{2}=0$$

Перемножьте -1 и 168, чтобы получить -168.

$$154x+2352-168x-x^{2}=0$$

Объедините 154x и -168x, чтобы получить -14x.

$$-14x+2352-x^{2}=0$$

Приведите многочлен к стандартному виду. Разместите члены, начиная с члена с наибольшей степенью и заканчивая членом с наименьшей степенью.

$$-x^{2}-14x+2352=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: -x^{2}+ax+bx+2352. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-14 ab=-2352=-2352$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -2352.

$$1,-2352 2,-1176 3,-784 4,-588 6,-392 7,-336 8,-294 12,-196 14,-168 16,-147 21,-112 24,-98 28,-84 42,-56 48,-49$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-2352=-2351 2-1176=-1174 3-784=-781 4-588=-584 6-392=-386 7-336=-329 8-294=-286 12-196=-184 14-168=-154 16-147=-131 21-112=-91 24-98=-74 28-84=-56 42-56=-14 48-49=-1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -14.

$$a=42 b=-56$$

Перепишите -x^{2}-14x+2352 как \left(-x^{2}+42x\right)+\left(-56x+2352\right).

$$\left(-x^{2}+42x\right)+\left(-56x+2352\right)$$

Разложите x в первом и 56 в второй группе.

$$x\left(-x+42\right)+56\left(-x+42\right)$$

Вынесите за скобки общий член -x+42, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(-x+42\right)\left(x+56\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите -x+42=0 и x+56=0у.

$$x=42 x=-56$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Переменная x не может равняться ни одному из этих значений (-14,0), так как деление на ноль не определено. Умножьте обе стороны уравнения на x\left(x+14\right), наименьшее общее кратное чисел x,x+14.

$$\left(x+14\right)\times 168-x\times 168=x\left(x+14\right)$$

Чтобы умножить x+14 на 168, используйте свойство дистрибутивности.

$$168x+2352-x\times 168=x\left(x+14\right)$$

Чтобы умножить x на x+14, используйте свойство дистрибутивности.

$$168x+2352-x\times 168=x^{2}+14x$$

Вычтите x^{2} из обеих частей уравнения.

$$168x+2352-x\times 168-x^{2}=14x$$

Вычтите 14x из обеих частей уравнения.

$$168x+2352-x\times 168-x^{2}-14x=0$$

Объедините 168x и -14x, чтобы получить 154x.

$$154x+2352-x\times 168-x^{2}=0$$

Перемножьте -1 и 168, чтобы получить -168.

$$154x+2352-168x-x^{2}=0$$

Объедините 154x и -168x, чтобы получить -14x.

$$-14x+2352-x^{2}=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-x^{2}-14x+2352=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -1 вместо a, -14 вместо b и 2352 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 2352}}{2\left(-1\right)}$$

Возведите -14 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\left(-1\right)\times 2352}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте -4 на -1.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+4\times 2352}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 4 на 2352.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+9408}}{2\left(-1\right)}$$

Прибавьте 196 к 9408.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{9604}}{2\left(-1\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 9604.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±98}{2\left(-1\right)}$$

Число, противоположное -14, равно 14.

$$x=\frac{14±98}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 2 на -1.

$$x=\frac{14±98}{-2}$$

Решите уравнение x=\frac{14±98}{-2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 14 к 98.

$$x=\frac{112}{-2}$$

Разделите 112 на -2.

$$x=-56$$

Решите уравнение x=\frac{14±98}{-2} при условии, что ± — минус. Вычтите 98 из 14.

$$x=-\frac{84}{-2}$$

Разделите -84 на -2.

$$x=42$$

Уравнение решено.

$$x=-56 x=42$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Переменная x не может равняться ни одному из этих значений (-14,0), так как деление на ноль не определено. Умножьте обе стороны уравнения на x\left(x+14\right), наименьшее общее кратное чисел x,x+14.

$$\left(x+14\right)\times 168-x\times 168=x\left(x+14\right)$$

Чтобы умножить x+14 на 168, используйте свойство дистрибутивности.

$$168x+2352-x\times 168=x\left(x+14\right)$$

Чтобы умножить x на x+14, используйте свойство дистрибутивности.

$$168x+2352-x\times 168=x^{2}+14x$$

Вычтите x^{2} из обеих частей уравнения.

$$168x+2352-x\times 168-x^{2}=14x$$

Вычтите 14x из обеих частей уравнения.

$$168x+2352-x\times 168-x^{2}-14x=0$$

Объедините 168x и -14x, чтобы получить 154x.

$$154x+2352-x\times 168-x^{2}=0$$

Вычтите 2352 из обеих частей уравнения. Если вычесть любое число из нуля, то получится его отрицательный эквивалент.

$$154x-x\times 168-x^{2}=-2352$$

Перемножьте -1 и 168, чтобы получить -168.

$$154x-168x-x^{2}=-2352$$

Объедините 154x и -168x, чтобы получить -14x.

$$-14x-x^{2}=-2352$$

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-14x=-2352$$

Разделите обе части на -1.

$$\frac{-x^{2}-14x}{-1}=-\frac{2352}{-1}$$

Деление на -1 аннулирует операцию умножения на -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{-1}\right)x=-\frac{2352}{-1}$$

Разделите -14 на -1.

$$x^{2}+14x=-\frac{2352}{-1}$$

Разделите -2352 на -1.

$$x^{2}+14x=2352$$

Деление 14, коэффициент x термина, 2 для получения 7. Затем добавьте квадрат 7 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+14x+7^{2}=2352+7^{2}$$

Возведите 7 в квадрат.

$$x^{2}+14x+49=2352+49$$

Прибавьте 2352 к 49.

$$x^{2}+14x+49=2401$$

Коэффициент x^{2}+14x+49. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+7\right)^{2}=2401$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+7\right)^{2}}=\sqrt{2401}$$

Упростите.

$$x+7=49 x+7=-49$$

Вычтите 7 из обеих частей уравнения.

$$x=42 x=-56$$