Решить 1500/x-1500/x+250=1/2

$$\frac { 1500 } { x } - \frac { 1500 } { x + 250 } = \frac { 1 } { 2 }$$

Найдите x

$$x=-1000$$

$$x=750$$

Способ разложения на множители путем группировки

Переменная x не может равняться ни одному из этих значений (-250,0), так как деление на ноль не определено. Умножьте обе стороны уравнения на 2x\left(x+250\right), наименьшее общее кратное чисел x,x+250,2.

$$\left(2x+500\right)\times 1500-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

Чтобы умножить 2x+500 на 1500, используйте свойство дистрибутивности.

$$3000x+750000-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

Перемножьте 2 и 1500, чтобы получить 3000.

$$3000x+750000-3000x=x\left(x+250\right)$$

Чтобы умножить x на x+250, используйте свойство дистрибутивности.

$$3000x+750000-3000x=x^{2}+250x$$

Вычтите x^{2} из обеих частей уравнения.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}=250x$$

Вычтите 250x из обеих частей уравнения.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}-250x=0$$

Объедините 3000x и -250x, чтобы получить 2750x.

$$2750x+750000-3000x-x^{2}=0$$

Объедините 2750x и -3000x, чтобы получить -250x.

$$-250x+750000-x^{2}=0$$

Приведите многочлен к стандартному виду. Разместите члены, начиная с члена с наибольшей степенью и заканчивая членом с наименьшей степенью.

$$-x^{2}-250x+750000=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: -x^{2}+ax+bx+750000. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-250 ab=-750000=-750000$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -750000.

$$1,-750000 2,-375000 3,-250000 4,-187500 5,-150000 6,-125000 8,-93750 10,-75000 12,-62500 15,-50000 16,-46875 20,-37500 24,-31250 25,-30000 30,-25000 40,-18750 48,-15625 50,-15000 60,-12500 75,-10000 80,-9375 100,-7500 120,-6250 125,-6000 150,-5000 200,-3750 240,-3125 250,-3000 300,-2500 375,-2000 400,-1875 500,-1500 600,-1250 625,-1200 750,-1000$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-750000=-749999 2-375000=-374998 3-250000=-249997 4-187500=-187496 5-150000=-149995 6-125000=-124994 8-93750=-93742 10-75000=-74990 12-62500=-62488 15-50000=-49985 16-46875=-46859 20-37500=-37480 24-31250=-31226 25-30000=-29975 30-25000=-24970 40-18750=-18710 48-15625=-15577 50-15000=-14950 60-12500=-12440 75-10000=-9925 80-9375=-9295 100-7500=-7400 120-6250=-6130 125-6000=-5875 150-5000=-4850 200-3750=-3550 240-3125=-2885 250-3000=-2750 300-2500=-2200 375-2000=-1625 400-1875=-1475 500-1500=-1000 600-1250=-650 625-1200=-575 750-1000=-250$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 250.

$$a=-750 b=1000$$

Перепишите -x^{2}-250x+750000 как \left(-x^{2}-750x\right)+\left(1000x+750000\right).

$$\left(-x^{2}-750x\right)+\left(1000x+750000\right)$$

Разложите x в первом и 1000 в второй группе.

$$x\left(x-750\right)+1000\left(x-750\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-750, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-750\right)\left(x+1000\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-750=0 и x+1000=0у.

$$x=750 x=-1000$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Переменная x не может равняться ни одному из этих значений (-250,0), так как деление на ноль не определено. Умножьте обе стороны уравнения на 2x\left(x+250\right), наименьшее общее кратное чисел x,x+250,2.

$$\left(2x+500\right)\times 1500-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

Чтобы умножить 2x+500 на 1500, используйте свойство дистрибутивности.

$$3000x+750000-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

Перемножьте 2 и 1500, чтобы получить 3000.

$$3000x+750000-3000x=x\left(x+250\right)$$

Чтобы умножить x на x+250, используйте свойство дистрибутивности.

$$3000x+750000-3000x=x^{2}+250x$$

Вычтите x^{2} из обеих частей уравнения.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}=250x$$

Вычтите 250x из обеих частей уравнения.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}-250x=0$$

Объедините 3000x и -250x, чтобы получить 2750x.

$$2750x+750000-3000x-x^{2}=0$$

Объедините 2750x и -3000x, чтобы получить -250x.

$$-250x+750000-x^{2}=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-x^{2}-250x+750000=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -1 вместо a, -250 вместо b и 750000 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{\left(-250\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 750000}}{2\left(-1\right)}$$

Возведите -250 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{62500-4\left(-1\right)\times 750000}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте -4 на -1.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{62500+4\times 750000}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 4 на 750000.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{62500+3000000}}{2\left(-1\right)}$$

Прибавьте 62500 к 3000000.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{3062500}}{2\left(-1\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 3062500.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±1750}{2\left(-1\right)}$$

Число, противоположное -250, равно 250.

$$x=\frac{250±1750}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 2 на -1.

$$x=\frac{250±1750}{-2}$$

Решите уравнение x=\frac{250±1750}{-2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 250 к 1750.

$$x=\frac{2000}{-2}$$

Разделите 2000 на -2.

$$x=-1000$$

Решите уравнение x=\frac{250±1750}{-2} при условии, что ± — минус. Вычтите 1750 из 250.

$$x=-\frac{1500}{-2}$$

Разделите -1500 на -2.

$$x=750$$

Уравнение решено.

$$x=-1000 x=750$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Переменная x не может равняться ни одному из этих значений (-250,0), так как деление на ноль не определено. Умножьте обе стороны уравнения на 2x\left(x+250\right), наименьшее общее кратное чисел x,x+250,2.

$$\left(2x+500\right)\times 1500-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

Чтобы умножить 2x+500 на 1500, используйте свойство дистрибутивности.

$$3000x+750000-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

Перемножьте 2 и 1500, чтобы получить 3000.

$$3000x+750000-3000x=x\left(x+250\right)$$

Чтобы умножить x на x+250, используйте свойство дистрибутивности.

$$3000x+750000-3000x=x^{2}+250x$$

Вычтите x^{2} из обеих частей уравнения.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}=250x$$

Вычтите 250x из обеих частей уравнения.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}-250x=0$$

Объедините 3000x и -250x, чтобы получить 2750x.

$$2750x+750000-3000x-x^{2}=0$$

Вычтите 750000 из обеих частей уравнения. Если вычесть любое число из нуля, то получится его отрицательный эквивалент.

$$2750x-3000x-x^{2}=-750000$$

Объедините 2750x и -3000x, чтобы получить -250x.

$$-250x-x^{2}=-750000$$

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-250x=-750000$$

Разделите обе части на -1.

$$\frac{-x^{2}-250x}{-1}=-\frac{750000}{-1}$$

Деление на -1 аннулирует операцию умножения на -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{250}{-1}\right)x=-\frac{750000}{-1}$$

Разделите -250 на -1.

$$x^{2}+250x=-\frac{750000}{-1}$$

Разделите -750000 на -1.

$$x^{2}+250x=750000$$

Деление 250, коэффициент x термина, 2 для получения 125. Затем добавьте квадрат 125 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+250x+125^{2}=750000+125^{2}$$

Возведите 125 в квадрат.

$$x^{2}+250x+15625=750000+15625$$

Прибавьте 750000 к 15625.

$$x^{2}+250x+15625=765625$$

Коэффициент x^{2}+250x+15625. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+125\right)^{2}=765625$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+125\right)^{2}}=\sqrt{765625}$$

Упростите.

$$x+125=875 x+125=-875$$

Вычтите 125 из обеих частей уравнения.

$$x=750 x=-1000$$