Решить 13/4x^2-4x-5=0

$$\frac { 13 } { 4 } x ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0$$

Найдите x

$$x=-\frac{10}{13}\approx -0,769230769$$

$$x=2$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$\frac{13}{4}x^{2}-4x-5=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте \frac{13}{4} вместо a, -4 вместо b и -5 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times \frac{13}{4}\left(-5\right)}}{2\times \frac{13}{4}}$$

Возведите -4 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times \frac{13}{4}\left(-5\right)}}{2\times \frac{13}{4}}$$

Умножьте -4 на \frac{13}{4}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-13\left(-5\right)}}{2\times \frac{13}{4}}$$

Умножьте -13 на -5.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+65}}{2\times \frac{13}{4}}$$

Прибавьте 16 к 65.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{81}}{2\times \frac{13}{4}}$$

Извлеките квадратный корень из 81.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±9}{2\times \frac{13}{4}}$$

Число, противоположное -4, равно 4.

$$x=\frac{4±9}{2\times \frac{13}{4}}$$

Умножьте 2 на \frac{13}{4}.

$$x=\frac{4±9}{\frac{13}{2}}$$

Решите уравнение x=\frac{4±9}{\frac{13}{2}} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 4 к 9.

$$x=\frac{13}{\frac{13}{2}}$$

Разделите 13 на \frac{13}{2}, умножив 13 на величину, обратную \frac{13}{2}.

$$x=2$$

Решите уравнение x=\frac{4±9}{\frac{13}{2}} при условии, что ± — минус. Вычтите 9 из 4.

$$x=-\frac{5}{\frac{13}{2}}$$

Разделите -5 на \frac{13}{2}, умножив -5 на величину, обратную \frac{13}{2}.

$$x=-\frac{10}{13}$$

Уравнение решено.

$$x=2 x=-\frac{10}{13}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$\frac{13}{4}x^{2}-4x-5=0$$

Прибавьте 5 к обеим частям уравнения.

$$\frac{13}{4}x^{2}-4x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Если из -5 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$\frac{13}{4}x^{2}-4x=-\left(-5\right)$$

Вычтите -5 из 0.

$$\frac{13}{4}x^{2}-4x=5$$

Разделите обе стороны уравнения на \frac{13}{4}, что равносильно умножению обеих частей на обратную дробь.

$$\frac{\frac{13}{4}x^{2}-4x}{\frac{13}{4}}=\frac{5}{\frac{13}{4}}$$

Деление на \frac{13}{4} аннулирует операцию умножения на \frac{13}{4}.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{\frac{13}{4}}\right)x=\frac{5}{\frac{13}{4}}$$

Разделите -4 на \frac{13}{4}, умножив -4 на величину, обратную \frac{13}{4}.

$$x^{2}-\frac{16}{13}x=\frac{5}{\frac{13}{4}}$$

Разделите 5 на \frac{13}{4}, умножив 5 на величину, обратную \frac{13}{4}.

$$x^{2}-\frac{16}{13}x=\frac{20}{13}$$

Деление -\frac{16}{13}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{8}{13}. Затем добавьте квадрат -\frac{8}{13} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{16}{13}x+\left(-\frac{8}{13}\right)^{2}=\frac{20}{13}+\left(-\frac{8}{13}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{8}{13} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{16}{13}x+\frac{64}{169}=\frac{20}{13}+\frac{64}{169}$$

Прибавьте \frac{20}{13} к \frac{64}{169}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{16}{13}x+\frac{64}{169}=\frac{324}{169}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{16}{13}x+\frac{64}{169}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{8}{13}\right)^{2}=\frac{324}{169}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{8}{13}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{324}{169}}$$

Упростите.

$$x-\frac{8}{13}=\frac{18}{13} x-\frac{8}{13}=-\frac{18}{13}$$

Прибавьте \frac{8}{13} к обеим частям уравнения.

$$x=2 x=-\frac{10}{13}$$