Решить 1/x-1+1/x-4=5/4

$$\frac { 1 } { x - 1 } + \frac { 1 } { x - 4 } = \frac { 5 } { 4 }$$

Найдите x

$$x=5$$

$$x = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} = 1,6$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Переменная x не может равняться ни одному из этих значений (1,4), так как деление на ноль не определено. Умножьте обе стороны уравнения на 4\left(x-4\right)\left(x-1\right), наименьшее общее кратное чисел x-1,x-4,4.

$$4x-16+4x-4=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Объедините 4x и 4x, чтобы получить 8x.

$$8x-16-4=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Вычтите 4 из -16, чтобы получить -20.

$$8x-20=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Чтобы умножить 5 на x-4, используйте свойство дистрибутивности.

$$8x-20=\left(5x-20\right)\left(x-1\right)$$

Чтобы умножить 5x-20 на x-1, используйте свойство дистрибутивности и приведение подобных.

$$8x-20=5x^{2}-25x+20$$

Вычтите 5x^{2} из обеих частей уравнения.

$$8x-20-5x^{2}=-25x+20$$

Прибавьте 25x к обеим частям.

$$8x-20-5x^{2}+25x=20$$

Объедините 8x и 25x, чтобы получить 33x.

$$33x-20-5x^{2}=20$$

Вычтите 20 из обеих частей уравнения.

$$33x-20-5x^{2}-20=0$$

Вычтите 20 из -20, чтобы получить -40.

$$33x-40-5x^{2}=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-5x^{2}+33x-40=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -5 вместо a, 33 вместо b и -40 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-33±\sqrt{33^{2}-4\left(-5\right)\left(-40\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Возведите 33 в квадрат.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-4\left(-5\right)\left(-40\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Умножьте -4 на -5.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089+20\left(-40\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Умножьте 20 на -40.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-800}}{2\left(-5\right)}$$

Прибавьте 1089 к -800.

$$x=\frac{-33±\sqrt{289}}{2\left(-5\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 289.

$$x=\frac{-33±17}{2\left(-5\right)}$$

Умножьте 2 на -5.

$$x=\frac{-33±17}{-10}$$

Решите уравнение x=\frac{-33±17}{-10} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -33 к 17.

$$x=-\frac{16}{-10}$$

Привести дробь \frac{-16}{-10} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=\frac{8}{5}$$

Решите уравнение x=\frac{-33±17}{-10} при условии, что ± — минус. Вычтите 17 из -33.

$$x=-\frac{50}{-10}$$

Разделите -50 на -10.

$$x=5$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{8}{5} x=5$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Переменная x не может равняться ни одному из этих значений (1,4), так как деление на ноль не определено. Умножьте обе стороны уравнения на 4\left(x-4\right)\left(x-1\right), наименьшее общее кратное чисел x-1,x-4,4.

$$4x-16+4x-4=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Объедините 4x и 4x, чтобы получить 8x.

$$8x-16-4=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Вычтите 4 из -16, чтобы получить -20.

$$8x-20=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Чтобы умножить 5 на x-4, используйте свойство дистрибутивности.

$$8x-20=\left(5x-20\right)\left(x-1\right)$$

Чтобы умножить 5x-20 на x-1, используйте свойство дистрибутивности и приведение подобных.

$$8x-20=5x^{2}-25x+20$$

Вычтите 5x^{2} из обеих частей уравнения.

$$8x-20-5x^{2}=-25x+20$$

Прибавьте 25x к обеим частям.

$$8x-20-5x^{2}+25x=20$$

Объедините 8x и 25x, чтобы получить 33x.

$$33x-20-5x^{2}=20$$

Прибавьте 20 к обеим частям.

$$33x-5x^{2}=20+20$$

Чтобы вычислить 40, сложите 20 и 20.

$$33x-5x^{2}=40$$

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-5x^{2}+33x=40$$

Разделите обе части на -5.

$$\frac{-5x^{2}+33x}{-5}=\frac{40}{-5}$$

Деление на -5 аннулирует операцию умножения на -5.

$$x^{2}+\frac{33}{-5}x=\frac{40}{-5}$$

Разделите 33 на -5.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x=\frac{40}{-5}$$

Разделите 40 на -5.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x=-8$$

Деление -\frac{33}{5}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{33}{10}. Затем добавьте квадрат -\frac{33}{10} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x+\left(-\frac{33}{10}\right)^{2}=-8+\left(-\frac{33}{10}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{33}{10} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x+\frac{1089}{100}=-8+\frac{1089}{100}$$

Прибавьте -8 к \frac{1089}{100}.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x+\frac{1089}{100}=\frac{289}{100}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{33}{5}x+\frac{1089}{100}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{33}{10}\right)^{2}=\frac{289}{100}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{33}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{100}}$$

Упростите.

$$x-\frac{33}{10}=\frac{17}{10} x-\frac{33}{10}=-\frac{17}{10}$$

Прибавьте \frac{33}{10} к обеим частям уравнения.

$$x=5 x=\frac{8}{5}$$