Решить 1/x+4/x+1+1=15/x

$$\frac { 1 } { x } + \frac { 4 } { x + 1 } + 1 = \frac { 15 } { x }$$

Найдите x

$$x = \frac{\sqrt{137} + 9}{2} \approx 10,352349955$$

$$x=\frac{9-\sqrt{137}}{2}\approx -1,352349955$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Переменная x не может равняться ни одному из этих значений (-1,0), так как деление на ноль не определено. Умножьте обе стороны уравнения на x\left(x+1\right), наименьшее общее кратное чисел x,x+1.

$$x+1+x\times 4+x\left(x+1\right)=\left(x+1\right)\times 15$$

Объедините x и x\times 4, чтобы получить 5x.

$$5x+1+x\left(x+1\right)=\left(x+1\right)\times 15$$

Чтобы умножить x на x+1, используйте свойство дистрибутивности.

$$5x+1+x^{2}+x=\left(x+1\right)\times 15$$

Объедините 5x и x, чтобы получить 6x.

$$6x+1+x^{2}=\left(x+1\right)\times 15$$

Чтобы умножить x+1 на 15, используйте свойство дистрибутивности.

$$6x+1+x^{2}=15x+15$$

Вычтите 15x из обеих частей уравнения.

$$6x+1+x^{2}-15x=15$$

Объедините 6x и -15x, чтобы получить -9x.

$$-9x+1+x^{2}=15$$

Вычтите 15 из обеих частей уравнения.

$$-9x+1+x^{2}-15=0$$

Вычтите 15 из 1, чтобы получить -14.

$$-9x-14+x^{2}=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}-9x-14=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -9 вместо b и -14 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\left(-14\right)}}{2}$$

Возведите -9 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\left(-14\right)}}{2}$$

Умножьте -4 на -14.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+56}}{2}$$

Прибавьте 81 к 56.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{137}}{2}$$

Число, противоположное -9, равно 9.

$$x=\frac{9±\sqrt{137}}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{9±\sqrt{137}}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 9 к \sqrt{137}.

$$x=\frac{\sqrt{137}+9}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{9±\sqrt{137}}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите \sqrt{137} из 9.

$$x=\frac{9-\sqrt{137}}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{137}+9}{2} x=\frac{9-\sqrt{137}}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Переменная x не может равняться ни одному из этих значений (-1,0), так как деление на ноль не определено. Умножьте обе стороны уравнения на x\left(x+1\right), наименьшее общее кратное чисел x,x+1.

$$x+1+x\times 4+x\left(x+1\right)=\left(x+1\right)\times 15$$

Объедините x и x\times 4, чтобы получить 5x.

$$5x+1+x\left(x+1\right)=\left(x+1\right)\times 15$$

Чтобы умножить x на x+1, используйте свойство дистрибутивности.

$$5x+1+x^{2}+x=\left(x+1\right)\times 15$$

Объедините 5x и x, чтобы получить 6x.

$$6x+1+x^{2}=\left(x+1\right)\times 15$$

Чтобы умножить x+1 на 15, используйте свойство дистрибутивности.

$$6x+1+x^{2}=15x+15$$

Вычтите 15x из обеих частей уравнения.

$$6x+1+x^{2}-15x=15$$

Объедините 6x и -15x, чтобы получить -9x.

$$-9x+1+x^{2}=15$$

Вычтите 1 из обеих частей уравнения.

$$-9x+x^{2}=15-1$$

Вычтите 1 из 15, чтобы получить 14.

$$-9x+x^{2}=14$$

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-9x=14$$

Деление -9, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{9}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{9}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-9x+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}=14+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{9}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=14+\frac{81}{4}$$

Прибавьте 14 к \frac{81}{4}.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=\frac{137}{4}$$

Коэффициент x^{2}-9x+\frac{81}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{137}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{137}{4}}$$

Упростите.

$$x-\frac{9}{2}=\frac{\sqrt{137}}{2} x-\frac{9}{2}=-\frac{\sqrt{137}}{2}$$

Прибавьте \frac{9}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{137}+9}{2} x=\frac{9-\sqrt{137}}{2}$$