Решить 1/x^2+x-2+1/x^2+7x+10+1/x^2+13x+40=1/3x-3-frac{1}{21}

$$\frac { 1 } { x ^ { 2 } + x - 2 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 7 x + 10 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 13 x + 40 } = \frac { 1 } { 3 x - 3 } - \frac { 1 } { 21 }$$

Найдите x

$$x=-1$$

Действия по решению

Переменная x не может равняться ни одному из этих значений (-8,-5,-2,1), так как деление на ноль не определено. Умножьте обе стороны уравнения на 21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right), наименьшее общее кратное чисел x^{2}+x-2,x^{2}+7x+10,x^{2}+13x+40,3x-3,21.

$$21\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Чтобы умножить 21 на x+5, используйте свойство дистрибутивности.

$$\left(21x+105\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Чтобы умножить 21x+105 на x+8, используйте свойство дистрибутивности и приведение подобных.

$$21x^{2}+273x+840+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Чтобы умножить 21 на x-1, используйте свойство дистрибутивности.

$$21x^{2}+273x+840+\left(21x-21\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Чтобы умножить 21x-21 на x+8, используйте свойство дистрибутивности и приведение подобных.

$$21x^{2}+273x+840+21x^{2}+147x-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Объедините 21x^{2} и 21x^{2}, чтобы получить 42x^{2}.

$$42x^{2}+273x+840+147x-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Объедините 273x и 147x, чтобы получить 420x.

$$42x^{2}+420x+840-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Вычтите 168 из 840, чтобы получить 672.

$$42x^{2}+420x+672+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Чтобы умножить 21 на x+2, используйте свойство дистрибутивности.

$$42x^{2}+420x+672+\left(21x+42\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Чтобы умножить 21x+42 на x-1, используйте свойство дистрибутивности и приведение подобных.

$$42x^{2}+420x+672+21x^{2}+21x-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Объедините 42x^{2} и 21x^{2}, чтобы получить 63x^{2}.

$$63x^{2}+420x+672+21x-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Объедините 420x и 21x, чтобы получить 441x.

$$63x^{2}+441x+672-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Вычтите 42 из 672, чтобы получить 630.

$$63x^{2}+441x+630=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Чтобы умножить 7 на x+2, используйте свойство дистрибутивности.

$$63x^{2}+441x+630=\left(7x+14\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Чтобы умножить 7x+14 на x+5, используйте свойство дистрибутивности и приведение подобных.

$$63x^{2}+441x+630=\left(7x^{2}+49x+70\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Чтобы умножить 7x^{2}+49x+70 на x+8, используйте свойство дистрибутивности и приведение подобных.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Перемножьте 21 и -\frac{1}{21}, чтобы получить -1.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560-\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

Чтобы умножить -1 на x-1, используйте свойство дистрибутивности.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

Чтобы умножить -x+1 на x+2, используйте свойство дистрибутивности и приведение подобных.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x^{2}-x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

Чтобы умножить -x^{2}-x+2 на x+5, используйте свойство дистрибутивности и приведение подобных.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x^{3}-6x^{2}-3x+10\right)\left(x+8\right)$$

Чтобы умножить -x^{3}-6x^{2}-3x+10 на x+8, используйте свойство дистрибутивности и приведение подобных.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560-x^{4}-14x^{3}-51x^{2}-14x+80$$

Объедините 7x^{3} и -14x^{3}, чтобы получить -7x^{3}.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+105x^{2}+462x+560-x^{4}-51x^{2}-14x+80$$

Объедините 105x^{2} и -51x^{2}, чтобы получить 54x^{2}.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+462x+560-x^{4}-14x+80$$

Объедините 462x и -14x, чтобы получить 448x.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+448x+560-x^{4}+80$$

Чтобы вычислить 640, сложите 560 и 80.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+448x+640-x^{4}$$

Прибавьте 7x^{3} к обеим частям.

$$63x^{2}+441x+630+7x^{3}=54x^{2}+448x+640-x^{4}$$

Вычтите 54x^{2} из обеих частей уравнения.

$$63x^{2}+441x+630+7x^{3}-54x^{2}=448x+640-x^{4}$$

Объедините 63x^{2} и -54x^{2}, чтобы получить 9x^{2}.

$$9x^{2}+441x+630+7x^{3}=448x+640-x^{4}$$

Вычтите 448x из обеих частей уравнения.

$$9x^{2}+441x+630+7x^{3}-448x=640-x^{4}$$

Объедините 441x и -448x, чтобы получить -7x.

$$9x^{2}-7x+630+7x^{3}=640-x^{4}$$

Вычтите 640 из обеих частей уравнения.

$$9x^{2}-7x+630+7x^{3}-640=-x^{4}$$

Вычтите 640 из 630, чтобы получить -10.

$$9x^{2}-7x-10+7x^{3}=-x^{4}$$

Прибавьте x^{4} к обеим частям.

$$9x^{2}-7x-10+7x^{3}+x^{4}=0$$

Упорядочите уравнение и приведите его к стандартному виду. Разместите члены, начиная с члена с наибольшей степенью, и заканчивая членом с наименьшей степенью.

$$x^{4}+7x^{3}+9x^{2}-7x-10=0$$

Согласно теореме о рациональных корнях, все рациональные корни многочлена имеют форму \frac{p}{q}, где p делит свободный член -10, а q делит старший коэффициент 1. Перечислите всех кандидатов \frac{p}{q}.

$$±10,±5,±2,±1$$

Найдите один такой корень, перепробовав все целочисленные значения, начиная с наименьшего по модулю. Если целочисленных корней не найдено, попробуйте дробные значения.

$$x=1$$

По факторам Ньютона, x-k является фактором многочлена сумме для каждого корневого k. Разделите x^{4}+7x^{3}+9x^{2}-7x-10 на x-1, чтобы получить x^{3}+8x^{2}+17x+10. Устраните уравнение, в котором результат равняется 0.

$$x^{3}+8x^{2}+17x+10=0$$

Согласно теореме о рациональных корнях, все рациональные корни многочлена имеют форму \frac{p}{q}, где p делит свободный член 10, а q делит старший коэффициент 1. Перечислите всех кандидатов \frac{p}{q}.

$$±10,±5,±2,±1$$

Найдите один такой корень, перепробовав все целочисленные значения, начиная с наименьшего по модулю. Если целочисленных корней не найдено, попробуйте дробные значения.

$$x=-1$$

По факторам Ньютона, x-k является фактором многочлена сумме для каждого корневого k. Разделите x^{3}+8x^{2}+17x+10 на x+1, чтобы получить x^{2}+7x+10. Устраните уравнение, в котором результат равняется 0.

$$x^{2}+7x+10=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замените в формуле корней квадратного уравнения a на 1, b на 7 и c на 10.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 1\times 10}}{2}$$

Выполните арифметические операции.

$$x=\frac{-7±3}{2}$$

Решение x^{2}+7x+10=0 уравнений, когда ±-плюс и когда ± — минус.

$$x=-5 x=-2$$

Удалите значения, которым переменная не может быть равна.

$$x=-1$$

Перечислите все найденные решения.

$$x=1 x=-1 x=-5 x=-2$$

Переменная x не может равняться ни одному из этих значений (1,-5,-2).

$$x=-1$$