Решить 1/x+1+2/x-1=x^2+2x/x^2-1

$$\frac { 1 } { x + 1 } + \frac { 2 } { x - 1 } = \frac { x ^ { 2 } + 2 x } { x ^ { 2 } - 1 }$$

Найдите x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1,618033989$$

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0,618033989$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Переменная x не может равняться ни одному из этих значений (-1,1), так как деление на ноль не определено. Умножьте обе стороны уравнения на \left(x-1\right)\left(x+1\right), наименьшее общее кратное чисел x+1,x-1,x^{2}-1.

$$x-1+\left(x+1\right)\times 2=x^{2}+2x$$

Чтобы умножить x+1 на 2, используйте свойство дистрибутивности.

$$x-1+2x+2=x^{2}+2x$$

Объедините x и 2x, чтобы получить 3x.

$$3x-1+2=x^{2}+2x$$

Чтобы вычислить 1, сложите -1 и 2.

$$3x+1=x^{2}+2x$$

Вычтите x^{2} из обеих частей уравнения.

$$3x+1-x^{2}=2x$$

Вычтите 2x из обеих частей уравнения.

$$3x+1-x^{2}-2x=0$$

Объедините 3x и -2x, чтобы получить x.

$$x+1-x^{2}=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-x^{2}+x+1=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -1 вместо a, 1 вместо b и 1 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Возведите 1 в квадрат.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте -4 на -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4}}{2\left(-1\right)}$$

Прибавьте 1 к 4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 2 на -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}$$

Решите уравнение x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -1 к \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{-2}$$

Разделите -1+\sqrt{5} на -2.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} при условии, что ± — минус. Вычтите \sqrt{5} из -1.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{-2}$$

Разделите -1-\sqrt{5} на -2.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Переменная x не может равняться ни одному из этих значений (-1,1), так как деление на ноль не определено. Умножьте обе стороны уравнения на \left(x-1\right)\left(x+1\right), наименьшее общее кратное чисел x+1,x-1,x^{2}-1.

$$x-1+\left(x+1\right)\times 2=x^{2}+2x$$

Чтобы умножить x+1 на 2, используйте свойство дистрибутивности.

$$x-1+2x+2=x^{2}+2x$$

Объедините x и 2x, чтобы получить 3x.

$$3x-1+2=x^{2}+2x$$

Чтобы вычислить 1, сложите -1 и 2.

$$3x+1=x^{2}+2x$$

Вычтите x^{2} из обеих частей уравнения.

$$3x+1-x^{2}=2x$$

Вычтите 2x из обеих частей уравнения.

$$3x+1-x^{2}-2x=0$$

Объедините 3x и -2x, чтобы получить x.

$$x+1-x^{2}=0$$

Вычтите 1 из обеих частей уравнения. Если вычесть любое число из нуля, то получится его отрицательный эквивалент.

$$x-x^{2}=-1$$

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+x=-1$$

Разделите обе части на -1.

$$\frac{-x^{2}+x}{-1}=-\frac{1}{-1}$$

Деление на -1 аннулирует операцию умножения на -1.

$$x^{2}+\frac{1}{-1}x=-\frac{1}{-1}$$

Разделите 1 на -1.

$$x^{2}-x=-\frac{1}{-1}$$

Разделите -1 на -1.

$$x^{2}-x=1$$

Деление -1, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{1}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{1}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=1+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{1}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=1+\frac{1}{4}$$

Прибавьте 1 к \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$$

Коэффициент x^{2}-x+\frac{1}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

Упростите.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

Прибавьте \frac{1}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$