Решить 1/(x-3)=2x+1/x^2-4

$$\frac { 1 } { ( x - 3 ) } = \frac { 2 x + 1 } { x ^ { 2 } - 4 }$$

Найдите x

$$x = \frac{\sqrt{21} + 5}{2} \approx 4,791287847$$

$$x=\frac{5-\sqrt{21}}{2}\approx 0,208712153$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Переменная x не может равняться ни одному из этих значений (-2,2,3), так как деление на ноль не определено. Умножьте обе стороны уравнения на \left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right), наименьшее общее кратное чисел x-3,x^{2}-4.

$$x^{2}-4=\left(x-3\right)\left(2x+1\right)$$

Чтобы умножить x-3 на 2x+1, используйте свойство дистрибутивности и приведение подобных.

$$x^{2}-4=2x^{2}-5x-3$$

Вычтите 2x^{2} из обеих частей уравнения.

$$x^{2}-4-2x^{2}=-5x-3$$

Объедините x^{2} и -2x^{2}, чтобы получить -x^{2}.

$$-x^{2}-4=-5x-3$$

Прибавьте 5x к обеим частям.

$$-x^{2}-4+5x=-3$$

Прибавьте 3 к обеим частям.

$$-x^{2}-4+5x+3=0$$

Чтобы вычислить -1, сложите -4 и 3.

$$-x^{2}-1+5x=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-x^{2}+5x-1=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -1 вместо a, 5 вместо b и -1 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Возведите 5 в квадрат.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте -4 на -1.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 4 на -1.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4}}{2\left(-1\right)}$$

Прибавьте 25 к -4.

$$x=\frac{-5±\sqrt{21}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 2 на -1.

$$x=\frac{-5±\sqrt{21}}{-2}$$

Решите уравнение x=\frac{-5±\sqrt{21}}{-2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -5 к \sqrt{21}.

$$x=\frac{\sqrt{21}-5}{-2}$$

Разделите -5+\sqrt{21} на -2.

$$x=\frac{5-\sqrt{21}}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-5±\sqrt{21}}{-2} при условии, что ± — минус. Вычтите \sqrt{21} из -5.

$$x=\frac{-\sqrt{21}-5}{-2}$$

Разделите -5-\sqrt{21} на -2.

$$x=\frac{\sqrt{21}+5}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{5-\sqrt{21}}{2} x=\frac{\sqrt{21}+5}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Переменная x не может равняться ни одному из этих значений (-2,2,3), так как деление на ноль не определено. Умножьте обе стороны уравнения на \left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right), наименьшее общее кратное чисел x-3,x^{2}-4.

$$x^{2}-4=\left(x-3\right)\left(2x+1\right)$$

Чтобы умножить x-3 на 2x+1, используйте свойство дистрибутивности и приведение подобных.

$$x^{2}-4=2x^{2}-5x-3$$

Вычтите 2x^{2} из обеих частей уравнения.

$$x^{2}-4-2x^{2}=-5x-3$$

Объедините x^{2} и -2x^{2}, чтобы получить -x^{2}.

$$-x^{2}-4=-5x-3$$

Прибавьте 5x к обеим частям.

$$-x^{2}-4+5x=-3$$

Прибавьте 4 к обеим частям.

$$-x^{2}+5x=-3+4$$

Чтобы вычислить 1, сложите -3 и 4.

$$-x^{2}+5x=1$$

Разделите обе части на -1.

$$\frac{-x^{2}+5x}{-1}=\frac{1}{-1}$$

Деление на -1 аннулирует операцию умножения на -1.

$$x^{2}+\frac{5}{-1}x=\frac{1}{-1}$$

Разделите 5 на -1.

$$x^{2}-5x=\frac{1}{-1}$$

Разделите 1 на -1.

$$x^{2}-5x=-1$$

Разделите -5, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится -\frac{5}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{5}{2} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{5}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-1+\frac{25}{4}$$

Прибавьте -1 к \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{21}{4}$$

Разложите x^{2}-5x+\frac{25}{4} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{21}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{21}{4}}$$

Упростите.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{21}}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{21}}{2}$$

Прибавьте \frac{5}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{21}+5}{2} x=\frac{5-\sqrt{21}}{2}$$