Решить [x^2-16x+63=0]

$$[ x ^ { 2 } - 16 x + 63 = 0 ]$$

Найдите x

$$x=7$$

$$x=9$$

Способ разложения на множители

Чтобы решить уравнение, разложите x^{2}-16x+63 на множители по формуле x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=-16 ab=63$$

Поскольку ab положительное, a и b имеют одинаковый знак. Так как a+b отрицательный, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары, содержащие 63 продукта.

$$-1,-63 -3,-21 -7,-9$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-63=-64 -3-21=-24 -7-9=-16$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -16.

$$a=-9 b=-7$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(x+a\right)\left(x+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(x-9\right)\left(x-7\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-9=0 и x-7=0.

$$x=9 x=7$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx+63. Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=-16 ab=1\times 63=63$$

Поскольку ab положительное, a и b имеют одинаковый знак. Так как a+b отрицательный, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары, содержащие 63 продукта.

$$-1,-63 -3,-21 -7,-9$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-63=-64 -3-21=-24 -7-9=-16$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -16.

$$a=-9 b=-7$$

Перепишите x^{2}-16x+63 как \left(x^{2}-9x\right)+\left(-7x+63\right).

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(-7x+63\right)$$

Вынесите за скобки x в первой и -7 во второй группе.

$$x\left(x-9\right)-7\left(x-9\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-9, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-9\right)\left(x-7\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-9=0 и x-7=0.

$$x=9 x=7$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}-16x+63=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -16 вместо b и 63 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 63}}{2}$$

Возведите -16 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-4\times 63}}{2}$$

Умножьте -4 на 63.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-252}}{2}$$

Прибавьте 256 к -252.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{4}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 4.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±2}{2}$$

Число, противоположное -16, равно 16.

$$x=\frac{16±2}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{16±2}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 16 к 2.

$$x=\frac{18}{2}$$

Разделите 18 на 2.

$$x=9$$

Решите уравнение x=\frac{16±2}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 2 из 16.

$$x=\frac{14}{2}$$

Разделите 14 на 2.

$$x=7$$

Уравнение решено.

$$x=9 x=7$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-16x+63=0$$

Вычтите 63 из обеих частей уравнения.

$$x^{2}-16x+63-63=-63$$

Если из 63 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}-16x=-63$$

Разделите -16, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится -8. Затем добавьте квадрат -8 в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}-16x+\left(-8\right)^{2}=-63+\left(-8\right)^{2}$$

Возведите -8 в квадрат.

$$x^{2}-16x+64=-63+64$$

Прибавьте -63 к 64.

$$x^{2}-16x+64=1$$

Разложите x^{2}-16x+64 на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-8\right)^{2}=1$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-8\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Упростите.

$$x-8=1 x-8=-1$$

Прибавьте 8 к обеим частям уравнения.

$$x=9 x=7$$