Решить [4/3(x-2)]^2=2x

$$[ \frac { 4 } { 3 } ( x - 2 ) ] ^ { 2 } = 2 x$$

Найдите x

$$x = \frac{3 \sqrt{73} + 41}{16} \approx 4,164500702$$

$$x=\frac{41-3\sqrt{73}}{16}\approx 0,960499298$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Чтобы умножить \frac{4}{3} на x-2, используйте свойство дистрибутивности.

$$\left(\frac{4}{3}x-\frac{8}{3}\right)^{2}=2x$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(\frac{4}{3}x-\frac{8}{3}\right)^{2}.

$$\frac{16}{9}x^{2}-\frac{64}{9}x+\frac{64}{9}=2x$$

Вычтите 2x из обеих частей уравнения.

$$\frac{16}{9}x^{2}-\frac{64}{9}x+\frac{64}{9}-2x=0$$

Объедините -\frac{64}{9}x и -2x, чтобы получить -\frac{82}{9}x.

$$\frac{16}{9}x^{2}-\frac{82}{9}x+\frac{64}{9}=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте \frac{16}{9} вместо a, -\frac{82}{9} вместо b и \frac{64}{9} вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{82}{9}\right)±\sqrt{\left(-\frac{82}{9}\right)^{2}-4\times \frac{16}{9}\times \frac{64}{9}}}{2\times \frac{16}{9}}$$

Возведите -\frac{82}{9} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-\frac{82}{9}\right)±\sqrt{\frac{6724}{81}-4\times \frac{16}{9}\times \frac{64}{9}}}{2\times \frac{16}{9}}$$

Умножьте -4 на \frac{16}{9}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{82}{9}\right)±\sqrt{\frac{6724}{81}-\frac{64}{9}\times \frac{64}{9}}}{2\times \frac{16}{9}}$$

Умножьте -\frac{64}{9} на \frac{64}{9}, перемножив числители и знаменатели. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x=\frac{-\left(-\frac{82}{9}\right)±\sqrt{\frac{6724-4096}{81}}}{2\times \frac{16}{9}}$$

Прибавьте \frac{6724}{81} к -\frac{4096}{81}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x=\frac{-\left(-\frac{82}{9}\right)±\sqrt{\frac{292}{9}}}{2\times \frac{16}{9}}$$

Извлеките квадратный корень из \frac{292}{9}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{82}{9}\right)±\frac{2\sqrt{73}}{3}}{2\times \frac{16}{9}}$$

Число, противоположное -\frac{82}{9}, равно \frac{82}{9}.

$$x=\frac{\frac{82}{9}±\frac{2\sqrt{73}}{3}}{2\times \frac{16}{9}}$$

Умножьте 2 на \frac{16}{9}.

$$x=\frac{\frac{82}{9}±\frac{2\sqrt{73}}{3}}{\frac{32}{9}}$$

Решите уравнение x=\frac{\frac{82}{9}±\frac{2\sqrt{73}}{3}}{\frac{32}{9}} при условии, что ± — плюс. Прибавьте \frac{82}{9} к \frac{2\sqrt{73}}{3}.

$$x=\frac{\frac{2\sqrt{73}}{3}+\frac{82}{9}}{\frac{32}{9}}$$

Разделите \frac{82}{9}+\frac{2\sqrt{73}}{3} на \frac{32}{9}, умножив \frac{82}{9}+\frac{2\sqrt{73}}{3} на величину, обратную \frac{32}{9}.

$$x=\frac{3\sqrt{73}+41}{16}$$

Решите уравнение x=\frac{\frac{82}{9}±\frac{2\sqrt{73}}{3}}{\frac{32}{9}} при условии, что ± — минус. Вычтите \frac{2\sqrt{73}}{3} из \frac{82}{9}.

$$x=\frac{-\frac{2\sqrt{73}}{3}+\frac{82}{9}}{\frac{32}{9}}$$

Разделите \frac{82}{9}-\frac{2\sqrt{73}}{3} на \frac{32}{9}, умножив \frac{82}{9}-\frac{2\sqrt{73}}{3} на величину, обратную \frac{32}{9}.

$$x=\frac{41-3\sqrt{73}}{16}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{3\sqrt{73}+41}{16} x=\frac{41-3\sqrt{73}}{16}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Чтобы умножить \frac{4}{3} на x-2, используйте свойство дистрибутивности.

$$\left(\frac{4}{3}x-\frac{8}{3}\right)^{2}=2x$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(\frac{4}{3}x-\frac{8}{3}\right)^{2}.

$$\frac{16}{9}x^{2}-\frac{64}{9}x+\frac{64}{9}=2x$$

Вычтите 2x из обеих частей уравнения.

$$\frac{16}{9}x^{2}-\frac{64}{9}x+\frac{64}{9}-2x=0$$

Объедините -\frac{64}{9}x и -2x, чтобы получить -\frac{82}{9}x.

$$\frac{16}{9}x^{2}-\frac{82}{9}x+\frac{64}{9}=0$$

Вычтите \frac{64}{9} из обеих частей уравнения. Если вычесть любое число из нуля, то получится его отрицательный эквивалент.

$$\frac{16}{9}x^{2}-\frac{82}{9}x=-\frac{64}{9}$$

Разделите обе стороны уравнения на \frac{16}{9}, что равносильно умножению обеих частей на обратную дробь.

$$\frac{\frac{16}{9}x^{2}-\frac{82}{9}x}{\frac{16}{9}}=-\frac{\frac{64}{9}}{\frac{16}{9}}$$

Деление на \frac{16}{9} аннулирует операцию умножения на \frac{16}{9}.

$$x^{2}+\left(-\frac{\frac{82}{9}}{\frac{16}{9}}\right)x=-\frac{\frac{64}{9}}{\frac{16}{9}}$$

Разделите -\frac{82}{9} на \frac{16}{9}, умножив -\frac{82}{9} на величину, обратную \frac{16}{9}.

$$x^{2}-\frac{41}{8}x=-\frac{\frac{64}{9}}{\frac{16}{9}}$$

Разделите -\frac{64}{9} на \frac{16}{9}, умножив -\frac{64}{9} на величину, обратную \frac{16}{9}.

$$x^{2}-\frac{41}{8}x=-4$$

Деление -\frac{41}{8}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{41}{16}. Затем добавьте квадрат -\frac{41}{16} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{41}{8}x+\left(-\frac{41}{16}\right)^{2}=-4+\left(-\frac{41}{16}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{41}{16} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{41}{8}x+\frac{1681}{256}=-4+\frac{1681}{256}$$

Прибавьте -4 к \frac{1681}{256}.

$$x^{2}-\frac{41}{8}x+\frac{1681}{256}=\frac{657}{256}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{41}{8}x+\frac{1681}{256}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{41}{16}\right)^{2}=\frac{657}{256}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{41}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{657}{256}}$$

Упростите.

$$x-\frac{41}{16}=\frac{3\sqrt{73}}{16} x-\frac{41}{16}=-\frac{3\sqrt{73}}{16}$$

Прибавьте \frac{41}{16} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{3\sqrt{73}+41}{16} x=\frac{41-3\sqrt{73}}{16}$$