Решить =20x^4+31x^2-9

$$= 20 x ^ { 4 } + 31 x ^ { 2 } - 9$$

Разложить на множители

$$\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)\left(5x^{2}+9\right)$$

Действия по решению

Чтобы разложить выражение на множители, решите уравнение, в левой части которого стоит это выражение, а в правой — 0.

$$20x^{4}+31x^{2}-9=0$$

Согласно теореме о рациональных корнях, все рациональные корни многочлена имеют форму \frac{p}{q}, где p делит свободный член -9, а q делит старший коэффициент 20. Перечислите всех кандидатов \frac{p}{q}.

$$±\frac{9}{20},±\frac{9}{10},±\frac{9}{5},±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{20},±\frac{3}{10},±\frac{3}{5},±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{20},±\frac{1}{10},±\frac{1}{5},±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Найдите один такой корень, перепробовав все целочисленные значения, начиная с наименьшего по модулю. Если целочисленных корней не найдено, попробуйте дробные значения.

$$x=\frac{1}{2}$$

По факторам Ньютона, x-k является фактором многочлена сумме для каждого корневого k. Разделите 20x^{4}+31x^{2}-9 на 2\left(x-\frac{1}{2}\right)=2x-1, чтобы получить 10x^{3}+5x^{2}+18x+9. Чтобы разложить результат на множители, решите уравнение, в левой части которого стоит этот результат, а в правой — 0.

$$10x^{3}+5x^{2}+18x+9=0$$

Согласно теореме о рациональных корнях, все рациональные корни многочлена имеют форму \frac{p}{q}, где p делит свободный член 9, а q делит старший коэффициент 10. Перечислите всех кандидатов \frac{p}{q}.

$$±\frac{9}{10},±\frac{9}{5},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{10},±\frac{3}{5},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{10},±\frac{1}{5},±\frac{1}{2},±1$$

Найдите один такой корень, перепробовав все целочисленные значения, начиная с наименьшего по модулю. Если целочисленных корней не найдено, попробуйте дробные значения.

$$x=-\frac{1}{2}$$

По факторам Ньютона, x-k является фактором многочлена сумме для каждого корневого k. Разделите 10x^{3}+5x^{2}+18x+9 на 2\left(x+\frac{1}{2}\right)=2x+1, чтобы получить 5x^{2}+9. Чтобы разложить результат на множители, решите уравнение, в левой части которого стоит этот результат, а в правой — 0.

$$5x^{2}+9=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замените в формуле корней квадратного уравнения a на 5, b на 0 и c на 9.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 5\times 9}}{2\times 5}$$

Выполните арифметические операции.

$$x=\frac{0±\sqrt{-180}}{10}$$

Многочлен 5x^{2}+9 не разлагается на множители, так как у него нет рациональных корней.

$$5x^{2}+9$$

Перепишите разложенное на множители выражение, используя полученные корни.

$$\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)\left(5x^{2}+9\right)$$

Вычислить

$$20x^{4}+31x^{2}-9$$