Решить +54x+sqrt{x}=75

$$+54x+ \sqrt{ x } = 75$$

Найдите x

$$x = \frac{8101 - \sqrt{16201}}{5832} \approx 1,3672354$$

Действия по решению

Вычтите 54x из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{x}=75-54x$$

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(75-54x\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{x} в степени 2 и получите x.

$$x=\left(75-54x\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(75-54x\right)^{2}.

$$x=5625-8100x+2916x^{2}$$

Вычтите 5625 из обеих частей уравнения.

$$x-5625=-8100x+2916x^{2}$$

Прибавьте 8100x к обеим частям.

$$x-5625+8100x=2916x^{2}$$

Объедините x и 8100x, чтобы получить 8101x.

$$8101x-5625=2916x^{2}$$

Вычтите 2916x^{2} из обеих частей уравнения.

$$8101x-5625-2916x^{2}=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-2916x^{2}+8101x-5625=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -2916 вместо a, 8101 вместо b и -5625 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8101±\sqrt{8101^{2}-4\left(-2916\right)\left(-5625\right)}}{2\left(-2916\right)}$$

Возведите 8101 в квадрат.

$$x=\frac{-8101±\sqrt{65626201-4\left(-2916\right)\left(-5625\right)}}{2\left(-2916\right)}$$

Умножьте -4 на -2916.

$$x=\frac{-8101±\sqrt{65626201+11664\left(-5625\right)}}{2\left(-2916\right)}$$

Умножьте 11664 на -5625.

$$x=\frac{-8101±\sqrt{65626201-65610000}}{2\left(-2916\right)}$$

Прибавьте 65626201 к -65610000.

$$x=\frac{-8101±\sqrt{16201}}{2\left(-2916\right)}$$

Умножьте 2 на -2916.

$$x=\frac{-8101±\sqrt{16201}}{-5832}$$

Решите уравнение x=\frac{-8101±\sqrt{16201}}{-5832} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -8101 к \sqrt{16201}.

$$x=\frac{\sqrt{16201}-8101}{-5832}$$

Разделите -8101+\sqrt{16201} на -5832.

$$x=\frac{8101-\sqrt{16201}}{5832}$$

Решите уравнение x=\frac{-8101±\sqrt{16201}}{-5832} при условии, что ± — минус. Вычтите \sqrt{16201} из -8101.

$$x=\frac{-\sqrt{16201}-8101}{-5832}$$

Разделите -8101-\sqrt{16201} на -5832.

$$x=\frac{\sqrt{16201}+8101}{5832}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{8101-\sqrt{16201}}{5832} x=\frac{\sqrt{16201}+8101}{5832}$$

Подставьте \frac{8101-\sqrt{16201}}{5832} вместо x в уравнении 54x+\sqrt{x}=75.

$$54\times \frac{8101-\sqrt{16201}}{5832}+\sqrt{\frac{8101-\sqrt{16201}}{5832}}=75$$

Упростите. Значение x=\frac{8101-\sqrt{16201}}{5832} удовлетворяет уравнению.

$$75=75$$

Подставьте \frac{\sqrt{16201}+8101}{5832} вместо x в уравнении 54x+\sqrt{x}=75.

$$54\times \frac{\sqrt{16201}+8101}{5832}+\sqrt{\frac{\sqrt{16201}+8101}{5832}}=75$$

Упростите. Значение x=\frac{\sqrt{16201}+8101}{5832} не соответствует уравнению.

$$\frac{1}{54}\times 16201^{\frac{1}{2}}+\frac{4051}{54}=75$$

Уравнение \sqrt{x}=75-54x имеет уникальное решение.

$$x=\frac{8101-\sqrt{16201}}{5832}$$