Rezolvați 2x^2+12x+40=0

$$2x^2+12x+40=0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=-3+\sqrt{11}i\approx -3+3,31662479i$$

$$x=-\sqrt{11}i-3\approx -3-3,31662479i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2x^{2}+12x+40=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu 12 și c cu 40 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 2\times 40}}{2\times 2}$$

Ridicați 12 la pătrat.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 2\times 40}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-8\times 40}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu 40.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-320}}{2\times 2}$$

Adunați 144 cu -320.

$$x=\frac{-12±\sqrt{-176}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -176.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4} atunci când ± este plus. Adunați -12 cu 4i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-12+4\sqrt{11}i}{4}$$

Împărțiți -12+4i\sqrt{11} la 4.

$$x=-3+\sqrt{11}i$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 4i\sqrt{11} din -12.

$$x=\frac{-4\sqrt{11}i-12}{4}$$

Împărțiți -12-4i\sqrt{11} la 4.

$$x=-\sqrt{11}i-3$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-3+\sqrt{11}i x=-\sqrt{11}i-3$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+12x+40=0$$

Scădeți 40 din ambele părți ale ecuației.

$$2x^{2}+12x+40-40=-40$$

Scăderea 40 din el însuși are ca rezultat 0.

$$2x^{2}+12x=-40$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2x^{2}+12x}{2}=-\frac{40}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$x^{2}+\frac{12}{2}x=-\frac{40}{2}$$

Împărțiți 12 la 2.

$$x^{2}+6x=-\frac{40}{2}$$

Împărțiți -40 la 2.

$$x^{2}+6x=-20$$

Împărțiți 6, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține 3. Apoi, adunați pătratul lui 3 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+6x+3^{2}=-20+3^{2}$$

Ridicați 3 la pătrat.

$$x^{2}+6x+9=-20+9$$

Adunați -20 cu 9.

$$x^{2}+6x+9=-11$$

Factor x^{2}+6x+9. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+3\right)^{2}=-11$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+3\right)^{2}}=\sqrt{-11}$$

Simplificați.

$$x+3=\sqrt{11}i x+3=-\sqrt{11}i$$

Scădeți 3 din ambele părți ale ecuației.

$$x=-3+\sqrt{11}i x=-\sqrt{11}i-3$$