Rezolvați 2/b-3-6/2b+1=4

$$\frac{2}{b-3}-\frac{6}{2b+1}=4$$

Rezolvați pentru b

$$b = \frac{\sqrt{337} + 9}{8} \approx 3,419694969$$

$$b=\frac{9-\sqrt{337}}{8}\approx -1,169694969$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila b nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -\frac{1}{2},3, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(b-3\right)\left(2b+1\right), cel mai mic multiplu comun al b-3,2b+1.

$$\left(2b+1\right)\times 2-\left(b-3\right)\times 6=4\left(b-3\right)\left(2b+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2b+1 cu 2.

$$4b+2-\left(b-3\right)\times 6=4\left(b-3\right)\left(2b+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți b-3 cu 6.

$$4b+2-\left(6b-18\right)=4\left(b-3\right)\left(2b+1\right)$$

Pentru a găsi opusul lui 6b-18, găsiți opusul fiecărui termen.

$$4b+2-6b+18=4\left(b-3\right)\left(2b+1\right)$$

Combinați 4b cu -6b pentru a obține -2b.

$$-2b+2+18=4\left(b-3\right)\left(2b+1\right)$$

Adunați 2 și 18 pentru a obține 20.

$$-2b+20=4\left(b-3\right)\left(2b+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4 cu b-3.

$$-2b+20=\left(4b-12\right)\left(2b+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4b-12 cu 2b+1 și a combina termenii similari.

$$-2b+20=8b^{2}-20b-12$$

Scădeți 8b^{2} din ambele părți.

$$-2b+20-8b^{2}=-20b-12$$

Adăugați 20b la ambele părți.

$$-2b+20-8b^{2}+20b=-12$$

Combinați -2b cu 20b pentru a obține 18b.

$$18b+20-8b^{2}=-12$$

Adăugați 12 la ambele părți.

$$18b+20-8b^{2}+12=0$$

Adunați 20 și 12 pentru a obține 32.

$$18b+32-8b^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-8b^{2}+18b+32=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -8, b cu 18 și c cu 32 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$b=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\left(-8\right)\times 32}}{2\left(-8\right)}$$

Ridicați 18 la pătrat.

$$b=\frac{-18±\sqrt{324-4\left(-8\right)\times 32}}{2\left(-8\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -8.

$$b=\frac{-18±\sqrt{324+32\times 32}}{2\left(-8\right)}$$

Înmulțiți 32 cu 32.

$$b=\frac{-18±\sqrt{324+1024}}{2\left(-8\right)}$$

Adunați 324 cu 1024.

$$b=\frac{-18±\sqrt{1348}}{2\left(-8\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1348.

$$b=\frac{-18±2\sqrt{337}}{2\left(-8\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -8.

$$b=\frac{-18±2\sqrt{337}}{-16}$$

Acum rezolvați ecuația b=\frac{-18±2\sqrt{337}}{-16} atunci când ± este plus. Adunați -18 cu 2\sqrt{337}.

$$b=\frac{2\sqrt{337}-18}{-16}$$

Împărțiți -18+2\sqrt{337} la -16.

$$b=\frac{9-\sqrt{337}}{8}$$

Acum rezolvați ecuația b=\frac{-18±2\sqrt{337}}{-16} atunci când ± este minus. Scădeți 2\sqrt{337} din -18.

$$b=\frac{-2\sqrt{337}-18}{-16}$$

Împărțiți -18-2\sqrt{337} la -16.

$$b=\frac{\sqrt{337}+9}{8}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$b=\frac{9-\sqrt{337}}{8} b=\frac{\sqrt{337}+9}{8}$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila b nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -\frac{1}{2},3, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(b-3\right)\left(2b+1\right), cel mai mic multiplu comun al b-3,2b+1.

$$\left(2b+1\right)\times 2-\left(b-3\right)\times 6=4\left(b-3\right)\left(2b+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2b+1 cu 2.

$$4b+2-\left(b-3\right)\times 6=4\left(b-3\right)\left(2b+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți b-3 cu 6.

$$4b+2-\left(6b-18\right)=4\left(b-3\right)\left(2b+1\right)$$

Pentru a găsi opusul lui 6b-18, găsiți opusul fiecărui termen.

$$4b+2-6b+18=4\left(b-3\right)\left(2b+1\right)$$

Combinați 4b cu -6b pentru a obține -2b.

$$-2b+2+18=4\left(b-3\right)\left(2b+1\right)$$

Adunați 2 și 18 pentru a obține 20.

$$-2b+20=4\left(b-3\right)\left(2b+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4 cu b-3.

$$-2b+20=\left(4b-12\right)\left(2b+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4b-12 cu 2b+1 și a combina termenii similari.

$$-2b+20=8b^{2}-20b-12$$

Scădeți 8b^{2} din ambele părți.

$$-2b+20-8b^{2}=-20b-12$$

Adăugați 20b la ambele părți.

$$-2b+20-8b^{2}+20b=-12$$

Combinați -2b cu 20b pentru a obține 18b.

$$18b+20-8b^{2}=-12$$

Scădeți 20 din ambele părți.

$$18b-8b^{2}=-12-20$$

Scădeți 20 din -12 pentru a obține -32.

$$18b-8b^{2}=-32$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-8b^{2}+18b=-32$$

Se împart ambele părți la -8.

$$\frac{-8b^{2}+18b}{-8}=-\frac{32}{-8}$$

Împărțirea la -8 anulează înmulțirea cu -8.

$$b^{2}+\frac{18}{-8}b=-\frac{32}{-8}$$

Reduceți fracția \frac{18}{-8} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$b^{2}-\frac{9}{4}b=-\frac{32}{-8}$$

Împărțiți -32 la -8.

$$b^{2}-\frac{9}{4}b=4$$

Împărțiți -\frac{9}{4}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{9}{8}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{9}{8} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$b^{2}-\frac{9}{4}b+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}=4+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{9}{8} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$b^{2}-\frac{9}{4}b+\frac{81}{64}=4+\frac{81}{64}$$

Adunați 4 cu \frac{81}{64}.

$$b^{2}-\frac{9}{4}b+\frac{81}{64}=\frac{337}{64}$$

Factor b^{2}-\frac{9}{4}b+\frac{81}{64}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(b-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{337}{64}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(b-\frac{9}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{337}{64}}$$

Simplificați.

$$b-\frac{9}{8}=\frac{\sqrt{337}}{8} b-\frac{9}{8}=-\frac{\sqrt{337}}{8}$$

Adunați \frac{9}{8} la ambele părți ale ecuației.

$$b=\frac{\sqrt{337}+9}{8} b=\frac{9-\sqrt{337}}{8}$$