Atrisiniet 2x^2+12x+40=0

$$2x^2+12x+40=0$$

Atrast x (complex solution)

$$x=-3+\sqrt{11}i\approx -3+3,31662479i$$

$$x=-\sqrt{11}i-3\approx -3-3,31662479i$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$2x^{2}+12x+40=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 2, b ar 12 un c ar 40.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 2\times 40}}{2\times 2}$$

Kāpiniet 12 kvadrātā.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 2\times 40}}{2\times 2}$$

Reiziniet -4 reiz 2.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-8\times 40}}{2\times 2}$$

Reiziniet -8 reiz 40.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-320}}{2\times 2}$$

Pieskaitiet 144 pie -320.

$$x=\frac{-12±\sqrt{-176}}{2\times 2}$$

Izvelciet kvadrātsakni no -176.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{2\times 2}$$

Reiziniet 2 reiz 2.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -12 pie 4i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-12+4\sqrt{11}i}{4}$$

Daliet -12+4i\sqrt{11} ar 4.

$$x=-3+\sqrt{11}i$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 4i\sqrt{11} no -12.

$$x=\frac{-4\sqrt{11}i-12}{4}$$

Daliet -12-4i\sqrt{11} ar 4.

$$x=-\sqrt{11}i-3$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=-3+\sqrt{11}i x=-\sqrt{11}i-3$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+12x+40=0$$

Atņemiet 40 no vienādojuma abām pusēm.

$$2x^{2}+12x+40-40=-40$$

Atņemot 40 no sevis, paliek 0.

$$2x^{2}+12x=-40$$

Daliet abas puses ar 2.

$$\frac{2x^{2}+12x}{2}=-\frac{40}{2}$$

Dalīšana ar 2 atsauc reizināšanu ar 2.

$$x^{2}+\frac{12}{2}x=-\frac{40}{2}$$

Daliet 12 ar 2.

$$x^{2}+6x=-\frac{40}{2}$$

Daliet -40 ar 2.

$$x^{2}+6x=-20$$

Daliet locekļa x koeficientu 6 ar 2, lai iegūtu 3. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet 3 kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}+6x+3^{2}=-20+3^{2}$$

Kāpiniet 3 kvadrātā.

$$x^{2}+6x+9=-20+9$$

Pieskaitiet -20 pie 9.

$$x^{2}+6x+9=-11$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}+6x+9. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+3\right)^{2}=-11$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x+3\right)^{2}}=\sqrt{-11}$$

Vienkāršojiet.

$$x+3=\sqrt{11}i x+3=-\sqrt{11}i$$

Atņemiet 3 no vienādojuma abām pusēm.

$$x=-3+\sqrt{11}i x=-\sqrt{11}i-3$$