გადაწყვიტეთ 2x^2+12x+40=0

$$2x^2+12x+40=0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=-3+\sqrt{11}i\approx -3+3.31662479i$$

$$x=-\sqrt{11}i-3\approx -3-3.31662479i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$2x^{2}+12x+40=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 2-ით a, 12-ით b და 40-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 2\times 40}}{2\times 2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 12.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 2\times 40}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 2.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-8\times 40}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -8-ზე 40.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-320}}{2\times 2}$$

მიუმატეთ 144 -320-ს.

$$x=\frac{-12±\sqrt{-176}}{2\times 2}$$

აიღეთ -176-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 2.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -12 4i\sqrt{11}-ს.

$$x=\frac{-12+4\sqrt{11}i}{4}$$

გაყავით -12+4i\sqrt{11} 4-ზე.

$$x=-3+\sqrt{11}i$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 4i\sqrt{11} -12-ს.

$$x=\frac{-4\sqrt{11}i-12}{4}$$

გაყავით -12-4i\sqrt{11} 4-ზე.

$$x=-\sqrt{11}i-3$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=-3+\sqrt{11}i x=-\sqrt{11}i-3$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+12x+40=0$$

გამოაკელით 40 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x^{2}+12x+40-40=-40$$

40-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$2x^{2}+12x=-40$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$\frac{2x^{2}+12x}{2}=-\frac{40}{2}$$

2-ზე გაყოფა აუქმებს 2-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{12}{2}x=-\frac{40}{2}$$

გაყავით 12 2-ზე.

$$x^{2}+6x=-\frac{40}{2}$$

გაყავით -40 2-ზე.

$$x^{2}+6x=-20$$

გაყავით 6, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, 3-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ 3-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+6x+3^{2}=-20+3^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 3.

$$x^{2}+6x+9=-20+9$$

მიუმატეთ -20 9-ს.

$$x^{2}+6x+9=-11$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+6x+9. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+3\right)^{2}=-11$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+3\right)^{2}}=\sqrt{-11}$$

გაამარტივეთ.

$$x+3=\sqrt{11}i x+3=-\sqrt{11}i$$

გამოაკელით 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-3+\sqrt{11}i x=-\sqrt{11}i-3$$