x を解く (複素数の解)
x=-3+\sqrt{11}i\approx -3+3.31662479i
x=-\sqrt{11}i-3\approx -3-3.31662479i
グラフ
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2x^{2}+12x+40=0
ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。
x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 2\times 40}}{2\times 2}
この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 2 を代入し、b に 12 を代入し、c に 40 を代入します。
x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 2\times 40}}{2\times 2}
12 を 2 乗します。
x=\frac{-12±\sqrt{144-8\times 40}}{2\times 2}
-4 と 2 を乗算します。
x=\frac{-12±\sqrt{144-320}}{2\times 2}
-8 と 40 を乗算します。
x=\frac{-12±\sqrt{-176}}{2\times 2}
144 を -320 に加算します。
x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{2\times 2}
-176 の平方根をとります。
x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4}
2 と 2 を乗算します。
x=\frac{-12+4\sqrt{11}i}{4}
± が正の時の方程式 x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4} の解を求めます。 -12 を 4i\sqrt{11} に加算します。
x=-3+\sqrt{11}i
-12+4i\sqrt{11} を 4 で除算します。
x=\frac{-4\sqrt{11}i-12}{4}
± が負の時の方程式 x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4} の解を求めます。 -12 から 4i\sqrt{11} を減算します。
x=-\sqrt{11}i-3
-12-4i\sqrt{11} を 4 で除算します。
x=-3+\sqrt{11}i x=-\sqrt{11}i-3
方程式が解けました。
2x^{2}+12x+40=0
このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。
2x^{2}+12x+40-40=-40
方程式の両辺から 40 を減算します。
2x^{2}+12x=-40
それ自体から 40 を減算すると 0 のままです。
\frac{2x^{2}+12x}{2}=-\frac{40}{2}
両辺を 2 で除算します。
x^{2}+\frac{12}{2}x=-\frac{40}{2}
2 で除算すると、2 での乗算を元に戻します。
x^{2}+6x=-\frac{40}{2}
12 を 2 で除算します。
x^{2}+6x=-20
-40 を 2 で除算します。
x^{2}+6x+3^{2}=-20+3^{2}
6 (x 項の係数) を 2 で除算して 3 を求めます。次に、方程式の両辺に 3 の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。
x^{2}+6x+9=-20+9
3 を 2 乗します。
x^{2}+6x+9=-11
-20 を 9 に加算します。
\left(x+3\right)^{2}=-11
因数 x^{2}+6x+9。一般に、x^{2}+bx+c が完全平方である場合、常に \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} のように因数分解されます。
\sqrt{\left(x+3\right)^{2}}=\sqrt{-11}
方程式の両辺の平方根をとります。
x+3=\sqrt{11}i x+3=-\sqrt{11}i
簡約化します。
x=-3+\sqrt{11}i x=-\sqrt{11}i-3
方程式の両辺から 3 を減算します。