Risolvi 2x^2+12x+40=0

$$2x^2+12x+40=0$$

Trova x (soluzione complessa)

$$x=-3+\sqrt{11}i\approx -3+3,31662479i$$

$$x=-\sqrt{11}i-3\approx -3-3,31662479i$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$2x^{2}+12x+40=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 2 a a, 12 a b e 40 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 2\times 40}}{2\times 2}$$

Eleva 12 al quadrato.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 2\times 40}}{2\times 2}$$

Moltiplica -4 per 2.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-8\times 40}}{2\times 2}$$

Moltiplica -8 per 40.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-320}}{2\times 2}$$

Aggiungi 144 a -320.

$$x=\frac{-12±\sqrt{-176}}{2\times 2}$$

Calcola la radice quadrata di -176.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{2\times 2}$$

Moltiplica 2 per 2.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4} quando ± è più. Aggiungi -12 a 4i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-12+4\sqrt{11}i}{4}$$

Dividi -12+4i\sqrt{11} per 4.

$$x=-3+\sqrt{11}i$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4} quando ± è meno. Sottrai 4i\sqrt{11} da -12.

$$x=\frac{-4\sqrt{11}i-12}{4}$$

Dividi -12-4i\sqrt{11} per 4.

$$x=-\sqrt{11}i-3$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-3+\sqrt{11}i x=-\sqrt{11}i-3$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+12x+40=0$$

Sottrai 40 da entrambi i lati dell'equazione.

$$2x^{2}+12x+40-40=-40$$

Sottraendo 40 da se stesso rimane 0.

$$2x^{2}+12x=-40$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$\frac{2x^{2}+12x}{2}=-\frac{40}{2}$$

La divisione per 2 annulla la moltiplicazione per 2.

$$x^{2}+\frac{12}{2}x=-\frac{40}{2}$$

Dividi 12 per 2.

$$x^{2}+6x=-\frac{40}{2}$$

Dividi -40 per 2.

$$x^{2}+6x=-20$$

Dividi 6, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere 3. Quindi aggiungi il quadrato di 3 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+6x+3^{2}=-20+3^{2}$$

Eleva 3 al quadrato.

$$x^{2}+6x+9=-20+9$$

Aggiungi -20 a 9.

$$x^{2}+6x+9=-11$$

Fattore x^{2}+6x+9. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+3\right)^{2}=-11$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+3\right)^{2}}=\sqrt{-11}$$

Semplifica.

$$x+3=\sqrt{11}i x+3=-\sqrt{11}i$$

Sottrai 3 da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-3+\sqrt{11}i x=-\sqrt{11}i-3$$