x^2-3x=28 megoldása

$$x^2-3x=28$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-4$$

$$x=7$$

A tényezőkre bontás lépései

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 28.

$$x^{2}-3x-28=0$$

Az egyenlet megoldásához szorzattá alakítjuk a(z) x^{2}-3x-28 kifejezést a(z) x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) képlet alapján. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=-3 ab=-28$$

Mivel a ab negatív, a és b ellentétes jelei vannak. Mivel a a+b negatív, a negatív szám értéke nagyobb, mint a pozitív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -28.

$$1,-28 2,-14 4,-7$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-28=-27 2-14=-12 4-7=-3$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -3.

$$a=-7 b=4$$

Az eredményül kapott értékeket használva átírjuk a tényezőkre bontott \left(x+a\right)\left(x+b\right) kifejezést.

$$\left(x-7\right)\left(x+4\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához x-7=0 és x+4=0.

$$x=7 x=-4$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 28.

$$x^{2}-3x-28=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk x^{2}+ax+bx-28 alakúvá. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=-3 ab=1\left(-28\right)=-28$$

Mivel a ab negatív, a és b ellentétes jelei vannak. Mivel a a+b negatív, a negatív szám értéke nagyobb, mint a pozitív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -28.

$$1,-28 2,-14 4,-7$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-28=-27 2-14=-12 4-7=-3$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -3.

$$a=-7 b=4$$

Átírjuk az értéket (x^{2}-3x-28) \left(x^{2}-7x\right)+\left(4x-28\right) alakban.

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(4x-28\right)$$

Kiemeljük a(z) x tényezőt az első, a(z) 4 tényezőt pedig a második csoportban.

$$x\left(x-7\right)+4\left(x-7\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-7 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-7\right)\left(x+4\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához x-7=0 és x+4=0.

$$x=7 x=-4$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$x^{2}-3x=28$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 28.

$$x^{2}-3x-28=28-28$$

Ha kivonjuk a(z) 28 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$x^{2}-3x-28=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) -3 értéket b-be és a(z) -28 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-28\right)}}{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-28\right)}}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -28.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+112}}{2}$$

Összeadjuk a következőket: 9 és 112.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{121}}{2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 121.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±11}{2}$$

-3 ellentettje 3.

$$x=\frac{3±11}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{3±11}{2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 3 és 11.

$$x=\frac{14}{2}$$

14 elosztása a következővel: 2.

$$x=7$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{3±11}{2}). ± előjele negatív. 11 kivonása a következőből: 3.

$$x=-\frac{8}{2}$$

-8 elosztása a következővel: 2.

$$x=-4$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=7 x=-4$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$x^{2}-3x=28$$

Elosztjuk a(z) -3 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{3}{2}. Ezután hozzáadjuk -\frac{3}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{3}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

Összeadjuk a következőket: 28 és \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

A(z) x^{2}-3x+\frac{9}{4} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{11}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{3}{2}.

$$x=7 x=-4$$