2x^2+12x+40=0 megoldása

$$2x^2+12x+40=0$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=-3+\sqrt{11}i\approx -3+3.31662479i$$

$$x=-\sqrt{11}i-3\approx -3-3.31662479i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$2x^{2}+12x+40=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 2 értéket a-ba, a(z) 12 értéket b-be és a(z) 40 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 2\times 40}}{2\times 2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 12.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 2\times 40}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 2.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-8\times 40}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -8 és 40.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-320}}{2\times 2}$$

Összeadjuk a következőket: 144 és -320.

$$x=\frac{-12±\sqrt{-176}}{2\times 2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -176.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 2.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -12 és 4i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-12+4\sqrt{11}i}{4}$$

-12+4i\sqrt{11} elosztása a következővel: 4.

$$x=-3+\sqrt{11}i$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4}). ± előjele negatív. 4i\sqrt{11} kivonása a következőből: -12.

$$x=\frac{-4\sqrt{11}i-12}{4}$$

-12-4i\sqrt{11} elosztása a következővel: 4.

$$x=-\sqrt{11}i-3$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=-3+\sqrt{11}i x=-\sqrt{11}i-3$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$2x^{2}+12x+40=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 40.

$$2x^{2}+12x+40-40=-40$$

Ha kivonjuk a(z) 40 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$2x^{2}+12x=-40$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$\frac{2x^{2}+12x}{2}=-\frac{40}{2}$$

A(z) 2 értékkel való osztás eltünteti a(z) 2 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{12}{2}x=-\frac{40}{2}$$

12 elosztása a következővel: 2.

$$x^{2}+6x=-\frac{40}{2}$$

-40 elosztása a következővel: 2.

$$x^{2}+6x=-20$$

Elosztjuk a(z) 6 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye 3. Ezután hozzáadjuk 3 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+6x+3^{2}=-20+3^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 3.

$$x^{2}+6x+9=-20+9$$

Összeadjuk a következőket: -20 és 9.

$$x^{2}+6x+9=-11$$

A(z) x^{2}+6x+9 kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x+3\right)^{2}=-11$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+3\right)^{2}}=\sqrt{-11}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+3=\sqrt{11}i x+3=-\sqrt{11}i$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 3.

$$x=-3+\sqrt{11}i x=-\sqrt{11}i-3$$