2/b-3-6/2b+1=4 megoldása

$$\frac{2}{b-3}-\frac{6}{2b+1}=4$$

Megoldás a(z) b változóra

$$b = \frac{\sqrt{337} + 9}{8} \approx 3.419694969$$

$$b=\frac{9-\sqrt{337}}{8}\approx -1.169694969$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A változó (b) értéke nem lehet ezen értékek egyike sem: -\frac{1}{2},3. Nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk b-3,2b+1 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: \left(b-3\right)\left(2b+1\right).

$$\left(2b+1\right)\times 2-\left(b-3\right)\times 6=4\left(b-3\right)\left(2b+1\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 2b+1 és 2.

$$4b+2-\left(b-3\right)\times 6=4\left(b-3\right)\left(2b+1\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: b-3 és 6.

$$4b+2-\left(6b-18\right)=4\left(b-3\right)\left(2b+1\right)$$

6b-18 ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$4b+2-6b+18=4\left(b-3\right)\left(2b+1\right)$$

Összevonjuk a következőket: 4b és -6b. Az eredmény -2b.

$$-2b+2+18=4\left(b-3\right)\left(2b+1\right)$$

Összeadjuk a következőket: 2 és 18. Az eredmény 20.

$$-2b+20=4\left(b-3\right)\left(2b+1\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 4 és b-3.

$$-2b+20=\left(4b-12\right)\left(2b+1\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (4b-12 és 2b+1), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$-2b+20=8b^{2}-20b-12$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 8b^{2}.

$$-2b+20-8b^{2}=-20b-12$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 20b.

$$-2b+20-8b^{2}+20b=-12$$

Összevonjuk a következőket: -2b és 20b. Az eredmény 18b.

$$18b+20-8b^{2}=-12$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 12.

$$18b+20-8b^{2}+12=0$$

Összeadjuk a következőket: 20 és 12. Az eredmény 32.

$$18b+32-8b^{2}=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-8b^{2}+18b+32=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -8 értéket a-ba, a(z) 18 értéket b-be és a(z) 32 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$b=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\left(-8\right)\times 32}}{2\left(-8\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 18.

$$b=\frac{-18±\sqrt{324-4\left(-8\right)\times 32}}{2\left(-8\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -8.

$$b=\frac{-18±\sqrt{324+32\times 32}}{2\left(-8\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 32 és 32.

$$b=\frac{-18±\sqrt{324+1024}}{2\left(-8\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 324 és 1024.

$$b=\frac{-18±\sqrt{1348}}{2\left(-8\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 1348.

$$b=\frac{-18±2\sqrt{337}}{2\left(-8\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -8.

$$b=\frac{-18±2\sqrt{337}}{-16}$$

Megoldjuk az egyenletet (b=\frac{-18±2\sqrt{337}}{-16}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -18 és 2\sqrt{337}.

$$b=\frac{2\sqrt{337}-18}{-16}$$

-18+2\sqrt{337} elosztása a következővel: -16.

$$b=\frac{9-\sqrt{337}}{8}$$

Megoldjuk az egyenletet (b=\frac{-18±2\sqrt{337}}{-16}). ± előjele negatív. 2\sqrt{337} kivonása a következőből: -18.

$$b=\frac{-2\sqrt{337}-18}{-16}$$

-18-2\sqrt{337} elosztása a következővel: -16.

$$b=\frac{\sqrt{337}+9}{8}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$b=\frac{9-\sqrt{337}}{8} b=\frac{\sqrt{337}+9}{8}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

A változó (b) értéke nem lehet ezen értékek egyike sem: -\frac{1}{2},3. Nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk b-3,2b+1 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: \left(b-3\right)\left(2b+1\right).

$$\left(2b+1\right)\times 2-\left(b-3\right)\times 6=4\left(b-3\right)\left(2b+1\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 2b+1 és 2.

$$4b+2-\left(b-3\right)\times 6=4\left(b-3\right)\left(2b+1\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: b-3 és 6.

$$4b+2-\left(6b-18\right)=4\left(b-3\right)\left(2b+1\right)$$

6b-18 ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$4b+2-6b+18=4\left(b-3\right)\left(2b+1\right)$$

Összevonjuk a következőket: 4b és -6b. Az eredmény -2b.

$$-2b+2+18=4\left(b-3\right)\left(2b+1\right)$$

Összeadjuk a következőket: 2 és 18. Az eredmény 20.

$$-2b+20=4\left(b-3\right)\left(2b+1\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 4 és b-3.

$$-2b+20=\left(4b-12\right)\left(2b+1\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (4b-12 és 2b+1), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$-2b+20=8b^{2}-20b-12$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 8b^{2}.

$$-2b+20-8b^{2}=-20b-12$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 20b.

$$-2b+20-8b^{2}+20b=-12$$

Összevonjuk a következőket: -2b és 20b. Az eredmény 18b.

$$18b+20-8b^{2}=-12$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 20.

$$18b-8b^{2}=-12-20$$

Kivonjuk a(z) 20 értékből a(z) -12 értéket. Az eredmény -32.

$$18b-8b^{2}=-32$$

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-8b^{2}+18b=-32$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -8.

$$\frac{-8b^{2}+18b}{-8}=-\frac{32}{-8}$$

A(z) -8 értékkel való osztás eltünteti a(z) -8 értékkel való szorzást.

$$b^{2}+\frac{18}{-8}b=-\frac{32}{-8}$$

A törtet (\frac{18}{-8}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$b^{2}-\frac{9}{4}b=-\frac{32}{-8}$$

-32 elosztása a következővel: -8.

$$b^{2}-\frac{9}{4}b=4$$

Elosztjuk a(z) -\frac{9}{4} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{9}{8}. Ezután hozzáadjuk -\frac{9}{8} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$b^{2}-\frac{9}{4}b+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}=4+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{9}{8} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$b^{2}-\frac{9}{4}b+\frac{81}{64}=4+\frac{81}{64}$$

Összeadjuk a következőket: 4 és \frac{81}{64}.

$$b^{2}-\frac{9}{4}b+\frac{81}{64}=\frac{337}{64}$$

A(z) b^{2}-\frac{9}{4}b+\frac{81}{64} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(b-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{337}{64}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(b-\frac{9}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{337}{64}}$$

Egyszerűsítünk.

$$b-\frac{9}{8}=\frac{\sqrt{337}}{8} b-\frac{9}{8}=-\frac{\sqrt{337}}{8}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{9}{8}.

$$b=\frac{\sqrt{337}+9}{8} b=\frac{9-\sqrt{337}}{8}$$