פתור את 2x^2+12x+40=0

$$2x^2+12x+40=0$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=-3+\sqrt{11}i\approx -3+3.31662479i$$

$$x=-\sqrt{11}i-3\approx -3-3.31662479i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$2x^{2}+12x+40=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 2 במקום a, ב- 12 במקום b, וב- 40 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 2\times 40}}{2\times 2}$$

‎12 בריבוע.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 2\times 40}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎2.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-8\times 40}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎40.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-320}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎144 ל- ‎-320.

$$x=\frac{-12±\sqrt{-176}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של -176.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-12 ל- ‎4i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-12+4\sqrt{11}i}{4}$$

חלק את ‎-12+4i\sqrt{11} ב- ‎4.

$$x=-3+\sqrt{11}i$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎4i\sqrt{11} מ- ‎-12.

$$x=\frac{-4\sqrt{11}i-12}{4}$$

חלק את ‎-12-4i\sqrt{11} ב- ‎4.

$$x=-\sqrt{11}i-3$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=-3+\sqrt{11}i x=-\sqrt{11}i-3$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+12x+40=0$$

החסר ‎40 משני אגפי המשוואה.

$$2x^{2}+12x+40-40=-40$$

החסרת 40 מעצמו נותנת 0.

$$2x^{2}+12x=-40$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$\frac{2x^{2}+12x}{2}=-\frac{40}{2}$$

חילוק ב- ‎2 מבטל את ההכפלה ב- ‎2.

$$x^{2}+\frac{12}{2}x=-\frac{40}{2}$$

חלק את ‎12 ב- ‎2.

$$x^{2}+6x=-\frac{40}{2}$$

חלק את ‎-40 ב- ‎2.

$$x^{2}+6x=-20$$

חלק את ‎6, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎3. לאחר מכן הוסף את הריבוע של 3 לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+6x+3^{2}=-20+3^{2}$$

‎3 בריבוע.

$$x^{2}+6x+9=-20+9$$

הוסף את ‎-20 ל- ‎9.

$$x^{2}+6x+9=-11$$

פרק את ‎x^{2}+6x+9 לגורמים. באופן כללי, כאשר x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים כ- \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+3\right)^{2}=-11$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+3\right)^{2}}=\sqrt{-11}$$

פשט.

$$x+3=\sqrt{11}i x+3=-\sqrt{11}i$$

החסר ‎3 משני אגפי המשוואה.

$$x=-3+\sqrt{11}i x=-\sqrt{11}i-3$$