Ratkaise x^2-3x=28

$$x^2-3x=28$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-4$$

$$x=7$$

Tekijöihin jakamisen vaiheet

Vähennä 28 molemmilta puolilta.

$$x^{2}-3x-28=0$$

Voit ratkaista yhtälön jakamalla lausekkeen x^{2}-3x-28 tekijöihin käyttämällä kaavaa x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=-3 ab=-28$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b ovat vastakkaiset merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin positiivinen. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on -28.

$$1,-28 2,-14 4,-7$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-28=-27 2-14=-12 4-7=-3$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on -3.

$$a=-7 b=4$$

Kirjoita tekijöihin jaettu lauseke \left(x+a\right)\left(x+b\right) uudelleen käyttämällä saatuja arvoja.

$$\left(x-7\right)\left(x+4\right)$$

Löydät yhtälön ratkaisut ratkaisemalla yhtälöt x-7=0 ja x+4=0.

$$x=7 x=-4$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Vähennä 28 molemmilta puolilta.

$$x^{2}-3x-28=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon x^{2}+ax+bx-28. Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=-3 ab=1\left(-28\right)=-28$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b ovat vastakkaiset merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin positiivinen. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on -28.

$$1,-28 2,-14 4,-7$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-28=-27 2-14=-12 4-7=-3$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on -3.

$$a=-7 b=4$$

Kirjoita \left(x^{2}-7x\right)+\left(4x-28\right) uudelleen muodossa x^{2}-3x-28.

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(4x-28\right)$$

Ota x tekijäksi ensimmäisessä ja 4 toisessa ryhmässä.

$$x\left(x-7\right)+4\left(x-7\right)$$

Ota tekijäksi yhteinen termi x-7 käyttämällä osittelulakia.

$$\left(x-7\right)\left(x+4\right)$$

Löydät yhtälön ratkaisut ratkaisemalla yhtälöt x-7=0 ja x+4=0.

$$x=7 x=-4$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-3x=28$$

Vähennä 28 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}-3x-28=28-28$$

Kun luku 28 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-3x-28=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -3 ja c luvulla -28 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-28\right)}}{2}$$

Korota -3 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-28\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -28.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+112}}{2}$$

Lisää 9 lukuun 112.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{121}}{2}$$

Ota luvun 121 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±11}{2}$$

Luvun -3 vastaluku on 3.

$$x=\frac{3±11}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{3±11}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 3 lukuun 11.

$$x=\frac{14}{2}$$

Jaa 14 luvulla 2.

$$x=7$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{3±11}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 11 luvusta 3.

$$x=-\frac{8}{2}$$

Jaa -8 luvulla 2.

$$x=-4$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=7 x=-4$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-3x=28$$

Jaa -3 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{3}{2}. Lisää sitten -\frac{3}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{3}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

Lisää 28 lukuun \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

Jaa x^{2}-3x+\frac{9}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{11}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

Lisää \frac{3}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=7 x=-4$$