Ratkaise 2x^2+12x+40=0

$$2x^2+12x+40=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=-3+\sqrt{11}i\approx -3+3,31662479i$$

$$x=-\sqrt{11}i-3\approx -3-3,31662479i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}+12x+40=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla 12 ja c luvulla 40 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 2\times 40}}{2\times 2}$$

Korota 12 neliöön.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 2\times 40}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-8\times 40}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja 40.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-320}}{2\times 2}$$

Lisää 144 lukuun -320.

$$x=\frac{-12±\sqrt{-176}}{2\times 2}$$

Ota luvun -176 neliöjuuri.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -12 lukuun 4i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-12+4\sqrt{11}i}{4}$$

Jaa -12+4i\sqrt{11} luvulla 4.

$$x=-3+\sqrt{11}i$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4i\sqrt{11} luvusta -12.

$$x=\frac{-4\sqrt{11}i-12}{4}$$

Jaa -12-4i\sqrt{11} luvulla 4.

$$x=-\sqrt{11}i-3$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-3+\sqrt{11}i x=-\sqrt{11}i-3$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+12x+40=0$$

Vähennä 40 yhtälön molemmilta puolilta.

$$2x^{2}+12x+40-40=-40$$

Kun luku 40 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2x^{2}+12x=-40$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}+12x}{2}=-\frac{40}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{12}{2}x=-\frac{40}{2}$$

Jaa 12 luvulla 2.

$$x^{2}+6x=-\frac{40}{2}$$

Jaa -40 luvulla 2.

$$x^{2}+6x=-20$$

Jaa 6 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 3. Lisää sitten 3:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+6x+3^{2}=-20+3^{2}$$

Korota 3 neliöön.

$$x^{2}+6x+9=-20+9$$

Lisää -20 lukuun 9.

$$x^{2}+6x+9=-11$$

Jaa x^{2}+6x+9 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+3\right)^{2}=-11$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+3\right)^{2}}=\sqrt{-11}$$

Sievennä.

$$x+3=\sqrt{11}i x+3=-\sqrt{11}i$$

Vähennä 3 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=-3+\sqrt{11}i x=-\sqrt{11}i-3$$