Resolver 2x^2+12x+40=0

$$2x^2+12x+40=0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=-3+\sqrt{11}i\approx -3+3.31662479i$$

$$x=-\sqrt{11}i-3\approx -3-3.31662479i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$2x^{2}+12x+40=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 2 balioa a balioarekin, 12 balioa b balioarekin, eta 40 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 2\times 40}}{2\times 2}$$

Egin 12 ber bi.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 2\times 40}}{2\times 2}$$

Egin -4 bider 2.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-8\times 40}}{2\times 2}$$

Egin -8 bider 40.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-320}}{2\times 2}$$

Gehitu 144 eta -320.

$$x=\frac{-12±\sqrt{-176}}{2\times 2}$$

Atera -176 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{2\times 2}$$

Egin 2 bider 2.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -12 eta 4i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-12+4\sqrt{11}i}{4}$$

Zatitu -12+4i\sqrt{11} balioa 4 balioarekin.

$$x=-3+\sqrt{11}i$$

Orain, ebatzi x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4} ekuazioa ± minus denean. Egin 4i\sqrt{11} ken -12.

$$x=\frac{-4\sqrt{11}i-12}{4}$$

Zatitu -12-4i\sqrt{11} balioa 4 balioarekin.

$$x=-\sqrt{11}i-3$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=-3+\sqrt{11}i x=-\sqrt{11}i-3$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$2x^{2}+12x+40=0$$

Egin ken 40 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x^{2}+12x+40-40=-40$$

40 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$2x^{2}+12x=-40$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$\frac{2x^{2}+12x}{2}=-\frac{40}{2}$$

2 balioarekin zatituz gero, 2 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{12}{2}x=-\frac{40}{2}$$

Zatitu 12 balioa 2 balioarekin.

$$x^{2}+6x=-\frac{40}{2}$$

Zatitu -40 balioa 2 balioarekin.

$$x^{2}+6x=-20$$

Zatitu 6 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta 3 lortuko duzu. Ondoren, gehitu 3 balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+6x+3^{2}=-20+3^{2}$$

Egin 3 ber bi.

$$x^{2}+6x+9=-20+9$$

Gehitu -20 eta 9.

$$x^{2}+6x+9=-11$$

Atera x^{2}+6x+9 balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+3\right)^{2}=-11$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+3\right)^{2}}=\sqrt{-11}$$

Sinplifikatu.

$$x+3=\sqrt{11}i x+3=-\sqrt{11}i$$

Egin ken 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-3+\sqrt{11}i x=-\sqrt{11}i-3$$