Solve 1-365!/(315-64)!/365^64

$$1 - \frac { \frac { 365 ! } { ( 315 - 64 ) ! } } { 365 ^ { 64 } }$$

Evaluate

$$-\frac{779200456031708244261827104405169235295390309576311471104552325003437705213819048211234484951017038975750695273132795344241977828757468174164527190245596150110951877895950900871727295989068129104311123268433955977013832985197547644325135533066544593108411811419}{2442910115929290390130386807795095177828138010899861324806503572752769983842921911444158681416196479465515202172662902739830315113067626953125}\approx -3.189640302 \cdot 10^{119}$$

Solution Steps

The factorial of 365 is 25104128675558732292929443748812027705165520269876079766872595193901106138220937419666018009000254169376172314360982328660708071123369979853445367910653872383599704355532740937678091491429440864316046925074510134847025546014098005907965541041195496105311886173373435145517193282760847755882291690213539123479186274701519396808504940722607033001246328398800550487427999876690416973437861078185344667966871511049653888130136836199010529180056125844549488648617682915826347564148990984138067809999604687488146734837340699359838791124995957584538873616661533093253551256845056046388738129702951381151861413688922986510005440943943014699244112555755279140760492764253740250410391056421979003289600000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000.

$$1-\frac{\frac{25104128675558732292929443748812027705165520269876079766872595193901106138220937419666018009000254169376172314360982328660708071123369979853445367910653872383599704355532740937678091491429440864316046925074510134847025546014098005907965541041195496105311886173373435145517193282760847755882291690213539123479186274701519396808504940722607033001246328398800550487427999876690416973437861078185344667966871511049653888130136836199010529180056125844549488648617682915826347564148990984138067809999604687488146734837340699359838791124995957584538873616661533093253551256845056046388738129702951381151861413688922986510005440943943014699244112555755279140760492764253740250410391056421979003289600000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000}{\left(315-64\right)!}}{365^{64}}$$

Subtract 64 from 315 to get 251.

$$1-\frac{\frac{25104128675558732292929443748812027705165520269876079766872595193901106138220937419666018009000254169376172314360982328660708071123369979853445367910653872383599704355532740937678091491429440864316046925074510134847025546014098005907965541041195496105311886173373435145517193282760847755882291690213539123479186274701519396808504940722607033001246328398800550487427999876690416973437861078185344667966871511049653888130136836199010529180056125844549488648617682915826347564148990984138067809999604687488146734837340699359838791124995957584538873616661533093253551256845056046388738129702951381151861413688922986510005440943943014699244112555755279140760492764253740250410391056421979003289600000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000}{251!}}{365^{64}}$$

The factorial of 251 is 811446921488186040812524452558116486219705773136118947353733549205318760636332913581693296758128078062183055345650547664609463859915056696520548600046891762340808337287505448037728337751512715064266648553413711482053864096073935168807868779389231199415987090547371213614453678579719100407204882954963078533417133568165939310960491560595435373673195910930411701938747154349882416287042721093688617485205308997682124247612021055212748800000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000.

$$1-\frac{\frac{25104128675558732292929443748812027705165520269876079766872595193901106138220937419666018009000254169376172314360982328660708071123369979853445367910653872383599704355532740937678091491429440864316046925074510134847025546014098005907965541041195496105311886173373435145517193282760847755882291690213539123479186274701519396808504940722607033001246328398800550487427999876690416973437861078185344667966871511049653888130136836199010529180056125844549488648617682915826347564148990984138067809999604687488146734837340699359838791124995957584538873616661533093253551256845056046388738129702951381151861413688922986510005440943943014699244112555755279140760492764253740250410391056421979003289600000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000}{811446921488186040812524452558116486219705773136118947353733549205318760636332913581693296758128078062183055345650547664609463859915056696520548600046891762340808337287505448037728337751512715064266648553413711482053864096073935168807868779389231199415987090547371213614453678579719100407204882954963078533417133568165939310960491560595435373673195910930411701938747154349882416287042721093688617485205308997682124247612021055212748800000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000}}{365^{64}}$$

Divide 25104128675558732292929443748812027705165520269876079766872595193901106138220937419666018009000254169376172314360982328660708071123369979853445367910653872383599704355532740937678091491429440864316046925074510134847025546014098005907965541041195496105311886173373435145517193282760847755882291690213539123479186274701519396808504940722607033001246328398800550487427999876690416973437861078185344667966871511049653888130136836199010529180056125844549488648617682915826347564148990984138067809999604687488146734837340699359838791124995957584538873616661533093253551256845056046388738129702951381151861413688922986510005440943943014699244112555755279140760492764253740250410391056421979003289600000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 by 811446921488186040812524452558116486219705773136118947353733549205318760636332913581693296758128078062183055345650547664609463859915056696520548600046891762340808337287505448037728337751512715064266648553413711482053864096073935168807868779389231199415987090547371213614453678579719100407204882954963078533417133568165939310960491560595435373673195910930411701938747154349882416287042721093688617485205308997682124247612021055212748800000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 to get 30937487111933329952294205422514281085797659752757577818007464259440597378346634715182100015163196628553982489634489017743496357330946150341090535339406461168731823693162823845738860216179902135549521759028778707000745498015345959177086174162234107957870592000000000000000000000000000.

$$1-\frac{30937487111933329952294205422514281085797659752757577818007464259440597378346634715182100015163196628553982489634489017743496357330946150341090535339406461168731823693162823845738860216179902135549521759028778707000745498015345959177086174162234107957870592000000000000000000000000000}{365^{64}}$$

Calculate 365 to the power of 64 and get 96993655024373445577955479165465103109524752647320635615988504433628255455932996169372809032104246609447378757433001761887637892645130932578467763960361480712890625.

$$1-\frac{30937487111933329952294205422514281085797659752757577818007464259440597378346634715182100015163196628553982489634489017743496357330946150341090535339406461168731823693162823845738860216179902135549521759028778707000745498015345959177086174162234107957870592000000000000000000000000000}{96993655024373445577955479165465103109524752647320635615988504433628255455932996169372809032104246609447378757433001761887637892645130932578467763960361480712890625}$$

Reduce the fraction \frac{30937487111933329952294205422514281085797659752757577818007464259440597378346634715182100015163196628553982489634489017743496357330946150341090535339406461168731823693162823845738860216179902135549521759028778707000745498015345959177086174162234107957870592000000000000000000000000000}{96993655024373445577955479165465103109524752647320635615988504433628255455932996169372809032104246609447378757433001761887637892645130932578467763960361480712890625} to lowest terms by extracting and canceling out 39704144001007080078125.

$$1-\frac{779200456031708244261827104405169235295390309576311471104552325003437705213819048211234484951017038975750695273132795346684887944686758564294913998040691327939089888795812225678230868741838112947233034712592637393210312450712749816988038272896859706176038764544}{2442910115929290390130386807795095177828138010899861324806503572752769983842921911444158681416196479465515202172662902739830315113067626953125}$$

Convert 1 to fraction \frac{2442910115929290390130386807795095177828138010899861324806503572752769983842921911444158681416196479465515202172662902739830315113067626953125}{2442910115929290390130386807795095177828138010899861324806503572752769983842921911444158681416196479465515202172662902739830315113067626953125}.

$$\frac{2442910115929290390130386807795095177828138010899861324806503572752769983842921911444158681416196479465515202172662902739830315113067626953125}{2442910115929290390130386807795095177828138010899861324806503572752769983842921911444158681416196479465515202172662902739830315113067626953125}-\frac{779200456031708244261827104405169235295390309576311471104552325003437705213819048211234484951017038975750695273132795346684887944686758564294913998040691327939089888795812225678230868741838112947233034712592637393210312450712749816988038272896859706176038764544}{2442910115929290390130386807795095177828138010899861324806503572752769983842921911444158681416196479465515202172662902739830315113067626953125}$$

Since \frac{2442910115929290390130386807795095177828138010899861324806503572752769983842921911444158681416196479465515202172662902739830315113067626953125}{2442910115929290390130386807795095177828138010899861324806503572752769983842921911444158681416196479465515202172662902739830315113067626953125} and \frac{779200456031708244261827104405169235295390309576311471104552325003437705213819048211234484951017038975750695273132795346684887944686758564294913998040691327939089888795812225678230868741838112947233034712592637393210312450712749816988038272896859706176038764544}{2442910115929290390130386807795095177828138010899861324806503572752769983842921911444158681416196479465515202172662902739830315113067626953125} have the same denominator, subtract them by subtracting their numerators.

$$\frac{2442910115929290390130386807795095177828138010899861324806503572752769983842921911444158681416196479465515202172662902739830315113067626953125-779200456031708244261827104405169235295390309576311471104552325003437705213819048211234484951017038975750695273132795346684887944686758564294913998040691327939089888795812225678230868741838112947233034712592637393210312450712749816988038272896859706176038764544}{2442910115929290390130386807795095177828138010899861324806503572752769983842921911444158681416196479465515202172662902739830315113067626953125}$$

Subtract 779200456031708244261827104405169235295390309576311471104552325003437705213819048211234484951017038975750695273132795346684887944686758564294913998040691327939089888795812225678230868741838112947233034712592637393210312450712749816988038272896859706176038764544 from 2442910115929290390130386807795095177828138010899861324806503572752769983842921911444158681416196479465515202172662902739830315113067626953125 to get -779200456031708244261827104405169235295390309576311471104552325003437705213819048211234484951017038975750695273132795344241977828757468174164527190245596150110951877895950900871727295989068129104311123268433955977013832985197547644325135533066544593108411811419.

$$-\frac{779200456031708244261827104405169235295390309576311471104552325003437705213819048211234484951017038975750695273132795344241977828757468174164527190245596150110951877895950900871727295989068129104311123268433955977013832985197547644325135533066544593108411811419}{2442910115929290390130386807795095177828138010899861324806503572752769983842921911444158681416196479465515202172662902739830315113067626953125}$$