Solve (x+2^{999})^2-(x-2^999)^2=2^1000

$$( x + 2 ^ { 999 } ) ^ { 2 } - ( x - 2 ^ { 999 } ) ^ { 2 } = 2 ^ { 1000 }$$

Solve for x

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

Steps for Solving Linear Equation

Calculate 2 to the power of 999 and get 5357543035931336604742125245300009052807024058527668037218751941851755255624680612465991894078479290637973364587765734125935726428461570217992288787349287401967283887412115492710537302531185570938977091076523237491790970633699383779582771973038531457285598238843271083830214915826312193418602834034688.

$$\left(x+5357543035931336604742125245300009052807024058527668037218751941851755255624680612465991894078479290637973364587765734125935726428461570217992288787349287401967283887412115492710537302531185570938977091076523237491790970633699383779582771973038531457285598238843271083830214915826312193418602834034688\right)^{2}-\left(x-2^{999}\right)^{2}=2^{1000}$$

Use binomial theorem \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} to expand \left(x+5357543035931336604742125245300009052807024058527668037218751941851755255624680612465991894078479290637973364587765734125935726428461570217992288787349287401967283887412115492710537302531185570938977091076523237491790970633699383779582771973038531457285598238843271083830214915826312193418602834034688\right)^{2}.

$$x^{2}+10715086071862673209484250490600018105614048117055336074437503883703510511249361224931983788156958581275946729175531468251871452856923140435984577574698574803934567774824230985421074605062371141877954182153046474983581941267398767559165543946077062914571196477686542167660429831652624386837205668069376x+28703267381856363105820830029442049600557942552217380011941068420644156534809257846416487157912656747961149115974686569336177974021576383285648283904166329634782497286328070000172194787060011217857231747515871561195403865911597090986829256510116588492726249139540599702236157401405827912384041055492583170336042227246114626400594871201978514725233694125107250679176656457630502033059070322940316970829301649748849104531755444964601010539963295812885222358475522980138739445897418009790020489304157645688845106395931503882087196604858013627228818945970656293858882200205710692704491363440546212787257344-\left(x-2^{999}\right)^{2}=2^{1000}$$

Calculate 2 to the power of 999 and get 5357543035931336604742125245300009052807024058527668037218751941851755255624680612465991894078479290637973364587765734125935726428461570217992288787349287401967283887412115492710537302531185570938977091076523237491790970633699383779582771973038531457285598238843271083830214915826312193418602834034688.

$$x^{2}+10715086071862673209484250490600018105614048117055336074437503883703510511249361224931983788156958581275946729175531468251871452856923140435984577574698574803934567774824230985421074605062371141877954182153046474983581941267398767559165543946077062914571196477686542167660429831652624386837205668069376x+28703267381856363105820830029442049600557942552217380011941068420644156534809257846416487157912656747961149115974686569336177974021576383285648283904166329634782497286328070000172194787060011217857231747515871561195403865911597090986829256510116588492726249139540599702236157401405827912384041055492583170336042227246114626400594871201978514725233694125107250679176656457630502033059070322940316970829301649748849104531755444964601010539963295812885222358475522980138739445897418009790020489304157645688845106395931503882087196604858013627228818945970656293858882200205710692704491363440546212787257344-\left(x-5357543035931336604742125245300009052807024058527668037218751941851755255624680612465991894078479290637973364587765734125935726428461570217992288787349287401967283887412115492710537302531185570938977091076523237491790970633699383779582771973038531457285598238843271083830214915826312193418602834034688\right)^{2}=2^{1000}$$

Use binomial theorem \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} to expand \left(x-5357543035931336604742125245300009052807024058527668037218751941851755255624680612465991894078479290637973364587765734125935726428461570217992288787349287401967283887412115492710537302531185570938977091076523237491790970633699383779582771973038531457285598238843271083830214915826312193418602834034688\right)^{2}.

$$x^{2}+10715086071862673209484250490600018105614048117055336074437503883703510511249361224931983788156958581275946729175531468251871452856923140435984577574698574803934567774824230985421074605062371141877954182153046474983581941267398767559165543946077062914571196477686542167660429831652624386837205668069376x+28703267381856363105820830029442049600557942552217380011941068420644156534809257846416487157912656747961149115974686569336177974021576383285648283904166329634782497286328070000172194787060011217857231747515871561195403865911597090986829256510116588492726249139540599702236157401405827912384041055492583170336042227246114626400594871201978514725233694125107250679176656457630502033059070322940316970829301649748849104531755444964601010539963295812885222358475522980138739445897418009790020489304157645688845106395931503882087196604858013627228818945970656293858882200205710692704491363440546212787257344-\left(x^{2}-10715086071862673209484250490600018105614048117055336074437503883703510511249361224931983788156958581275946729175531468251871452856923140435984577574698574803934567774824230985421074605062371141877954182153046474983581941267398767559165543946077062914571196477686542167660429831652624386837205668069376x+28703267381856363105820830029442049600557942552217380011941068420644156534809257846416487157912656747961149115974686569336177974021576383285648283904166329634782497286328070000172194787060011217857231747515871561195403865911597090986829256510116588492726249139540599702236157401405827912384041055492583170336042227246114626400594871201978514725233694125107250679176656457630502033059070322940316970829301649748849104531755444964601010539963295812885222358475522980138739445897418009790020489304157645688845106395931503882087196604858013627228818945970656293858882200205710692704491363440546212787257344\right)=2^{1000}$$

To find the opposite of x^{2}-10715086071862673209484250490600018105614048117055336074437503883703510511249361224931983788156958581275946729175531468251871452856923140435984577574698574803934567774824230985421074605062371141877954182153046474983581941267398767559165543946077062914571196477686542167660429831652624386837205668069376x+28703267381856363105820830029442049600557942552217380011941068420644156534809257846416487157912656747961149115974686569336177974021576383285648283904166329634782497286328070000172194787060011217857231747515871561195403865911597090986829256510116588492726249139540599702236157401405827912384041055492583170336042227246114626400594871201978514725233694125107250679176656457630502033059070322940316970829301649748849104531755444964601010539963295812885222358475522980138739445897418009790020489304157645688845106395931503882087196604858013627228818945970656293858882200205710692704491363440546212787257344, find the opposite of each term.

$$x^{2}+10715086071862673209484250490600018105614048117055336074437503883703510511249361224931983788156958581275946729175531468251871452856923140435984577574698574803934567774824230985421074605062371141877954182153046474983581941267398767559165543946077062914571196477686542167660429831652624386837205668069376x+28703267381856363105820830029442049600557942552217380011941068420644156534809257846416487157912656747961149115974686569336177974021576383285648283904166329634782497286328070000172194787060011217857231747515871561195403865911597090986829256510116588492726249139540599702236157401405827912384041055492583170336042227246114626400594871201978514725233694125107250679176656457630502033059070322940316970829301649748849104531755444964601010539963295812885222358475522980138739445897418009790020489304157645688845106395931503882087196604858013627228818945970656293858882200205710692704491363440546212787257344-x^{2}+10715086071862673209484250490600018105614048117055336074437503883703510511249361224931983788156958581275946729175531468251871452856923140435984577574698574803934567774824230985421074605062371141877954182153046474983581941267398767559165543946077062914571196477686542167660429831652624386837205668069376x-28703267381856363105820830029442049600557942552217380011941068420644156534809257846416487157912656747961149115974686569336177974021576383285648283904166329634782497286328070000172194787060011217857231747515871561195403865911597090986829256510116588492726249139540599702236157401405827912384041055492583170336042227246114626400594871201978514725233694125107250679176656457630502033059070322940316970829301649748849104531755444964601010539963295812885222358475522980138739445897418009790020489304157645688845106395931503882087196604858013627228818945970656293858882200205710692704491363440546212787257344=2^{1000}$$

Combine x^{2} and -x^{2} to get 0.

$$10715086071862673209484250490600018105614048117055336074437503883703510511249361224931983788156958581275946729175531468251871452856923140435984577574698574803934567774824230985421074605062371141877954182153046474983581941267398767559165543946077062914571196477686542167660429831652624386837205668069376x+28703267381856363105820830029442049600557942552217380011941068420644156534809257846416487157912656747961149115974686569336177974021576383285648283904166329634782497286328070000172194787060011217857231747515871561195403865911597090986829256510116588492726249139540599702236157401405827912384041055492583170336042227246114626400594871201978514725233694125107250679176656457630502033059070322940316970829301649748849104531755444964601010539963295812885222358475522980138739445897418009790020489304157645688845106395931503882087196604858013627228818945970656293858882200205710692704491363440546212787257344+10715086071862673209484250490600018105614048117055336074437503883703510511249361224931983788156958581275946729175531468251871452856923140435984577574698574803934567774824230985421074605062371141877954182153046474983581941267398767559165543946077062914571196477686542167660429831652624386837205668069376x-28703267381856363105820830029442049600557942552217380011941068420644156534809257846416487157912656747961149115974686569336177974021576383285648283904166329634782497286328070000172194787060011217857231747515871561195403865911597090986829256510116588492726249139540599702236157401405827912384041055492583170336042227246114626400594871201978514725233694125107250679176656457630502033059070322940316970829301649748849104531755444964601010539963295812885222358475522980138739445897418009790020489304157645688845106395931503882087196604858013627228818945970656293858882200205710692704491363440546212787257344=2^{1000}$$

Combine 10715086071862673209484250490600018105614048117055336074437503883703510511249361224931983788156958581275946729175531468251871452856923140435984577574698574803934567774824230985421074605062371141877954182153046474983581941267398767559165543946077062914571196477686542167660429831652624386837205668069376x and 10715086071862673209484250490600018105614048117055336074437503883703510511249361224931983788156958581275946729175531468251871452856923140435984577574698574803934567774824230985421074605062371141877954182153046474983581941267398767559165543946077062914571196477686542167660429831652624386837205668069376x to get 21430172143725346418968500981200036211228096234110672148875007767407021022498722449863967576313917162551893458351062936503742905713846280871969155149397149607869135549648461970842149210124742283755908364306092949967163882534797535118331087892154125829142392955373084335320859663305248773674411336138752x.

$$21430172143725346418968500981200036211228096234110672148875007767407021022498722449863967576313917162551893458351062936503742905713846280871969155149397149607869135549648461970842149210124742283755908364306092949967163882534797535118331087892154125829142392955373084335320859663305248773674411336138752x+28703267381856363105820830029442049600557942552217380011941068420644156534809257846416487157912656747961149115974686569336177974021576383285648283904166329634782497286328070000172194787060011217857231747515871561195403865911597090986829256510116588492726249139540599702236157401405827912384041055492583170336042227246114626400594871201978514725233694125107250679176656457630502033059070322940316970829301649748849104531755444964601010539963295812885222358475522980138739445897418009790020489304157645688845106395931503882087196604858013627228818945970656293858882200205710692704491363440546212787257344-28703267381856363105820830029442049600557942552217380011941068420644156534809257846416487157912656747961149115974686569336177974021576383285648283904166329634782497286328070000172194787060011217857231747515871561195403865911597090986829256510116588492726249139540599702236157401405827912384041055492583170336042227246114626400594871201978514725233694125107250679176656457630502033059070322940316970829301649748849104531755444964601010539963295812885222358475522980138739445897418009790020489304157645688845106395931503882087196604858013627228818945970656293858882200205710692704491363440546212787257344=2^{1000}$$

Subtract 28703267381856363105820830029442049600557942552217380011941068420644156534809257846416487157912656747961149115974686569336177974021576383285648283904166329634782497286328070000172194787060011217857231747515871561195403865911597090986829256510116588492726249139540599702236157401405827912384041055492583170336042227246114626400594871201978514725233694125107250679176656457630502033059070322940316970829301649748849104531755444964601010539963295812885222358475522980138739445897418009790020489304157645688845106395931503882087196604858013627228818945970656293858882200205710692704491363440546212787257344 from 28703267381856363105820830029442049600557942552217380011941068420644156534809257846416487157912656747961149115974686569336177974021576383285648283904166329634782497286328070000172194787060011217857231747515871561195403865911597090986829256510116588492726249139540599702236157401405827912384041055492583170336042227246114626400594871201978514725233694125107250679176656457630502033059070322940316970829301649748849104531755444964601010539963295812885222358475522980138739445897418009790020489304157645688845106395931503882087196604858013627228818945970656293858882200205710692704491363440546212787257344 to get 0.

$$21430172143725346418968500981200036211228096234110672148875007767407021022498722449863967576313917162551893458351062936503742905713846280871969155149397149607869135549648461970842149210124742283755908364306092949967163882534797535118331087892154125829142392955373084335320859663305248773674411336138752x=2^{1000}$$

Calculate 2 to the power of 1000 and get 10715086071862673209484250490600018105614048117055336074437503883703510511249361224931983788156958581275946729175531468251871452856923140435984577574698574803934567774824230985421074605062371141877954182153046474983581941267398767559165543946077062914571196477686542167660429831652624386837205668069376.

$$21430172143725346418968500981200036211228096234110672148875007767407021022498722449863967576313917162551893458351062936503742905713846280871969155149397149607869135549648461970842149210124742283755908364306092949967163882534797535118331087892154125829142392955373084335320859663305248773674411336138752x=10715086071862673209484250490600018105614048117055336074437503883703510511249361224931983788156958581275946729175531468251871452856923140435984577574698574803934567774824230985421074605062371141877954182153046474983581941267398767559165543946077062914571196477686542167660429831652624386837205668069376$$

Divide both sides by 21430172143725346418968500981200036211228096234110672148875007767407021022498722449863967576313917162551893458351062936503742905713846280871969155149397149607869135549648461970842149210124742283755908364306092949967163882534797535118331087892154125829142392955373084335320859663305248773674411336138752.

$$x=\frac{10715086071862673209484250490600018105614048117055336074437503883703510511249361224931983788156958581275946729175531468251871452856923140435984577574698574803934567774824230985421074605062371141877954182153046474983581941267398767559165543946077062914571196477686542167660429831652624386837205668069376}{21430172143725346418968500981200036211228096234110672148875007767407021022498722449863967576313917162551893458351062936503742905713846280871969155149397149607869135549648461970842149210124742283755908364306092949967163882534797535118331087892154125829142392955373084335320859663305248773674411336138752}$$

Reduce the fraction \frac{10715086071862673209484250490600018105614048117055336074437503883703510511249361224931983788156958581275946729175531468251871452856923140435984577574698574803934567774824230985421074605062371141877954182153046474983581941267398767559165543946077062914571196477686542167660429831652624386837205668069376}{21430172143725346418968500981200036211228096234110672148875007767407021022498722449863967576313917162551893458351062936503742905713846280871969155149397149607869135549648461970842149210124742283755908364306092949967163882534797535118331087892154125829142392955373084335320859663305248773674411336138752} to lowest terms by extracting and canceling out 10715086071862673209484250490600018105614048117055336074437503883703510511249361224931983788156958581275946729175531468251871452856923140435984577574698574803934567774824230985421074605062371141877954182153046474983581941267398767559165543946077062914571196477686542167660429831652624386837205668069376.

$$x=\frac{1}{2}$$