Solve left(x+22^999right)^2-left(x-2^999right)^2={2}^1000

$${ \left(x+2 { 2 }^{ 999 } \right) }^{ 2 } - { \left(x- { 2 }^{ 999 } \right) }^{ 2 } = { 2 }^{ 1000 }$$

Solve for x

$$x=-\frac{8036314553897004907113187867950013579210536087791502055828127912777632883437020918698987841117718935956960046881648601188903589642692355326988433181023931102950925831118173239065805953796778356408465636614784856237686455950549075669374157959557797185928397358264906625745322373739468290127904251052031}{3}\approx -2.678771518 \cdot 10^{300}$$

Steps for Solving Linear Equation

To multiply powers of the same base, add their exponents. Add 1 and 999 to get 1000.

$$\left(x+2^{1000}\right)^{2}-\left(x-2^{999}\right)^{2}=2^{1000}$$

Calculate 2 to the power of 1000 and get 10715086071862673209484250490600018105614048117055336074437503883703510511249361224931983788156958581275946729175531468251871452856923140435984577574698574803934567774824230985421074605062371141877954182153046474983581941267398767559165543946077062914571196477686542167660429831652624386837205668069376.

$$\left(x+10715086071862673209484250490600018105614048117055336074437503883703510511249361224931983788156958581275946729175531468251871452856923140435984577574698574803934567774824230985421074605062371141877954182153046474983581941267398767559165543946077062914571196477686542167660429831652624386837205668069376\right)^{2}-\left(x-2^{999}\right)^{2}=2^{1000}$$

Use binomial theorem \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} to expand \left(x+10715086071862673209484250490600018105614048117055336074437503883703510511249361224931983788156958581275946729175531468251871452856923140435984577574698574803934567774824230985421074605062371141877954182153046474983581941267398767559165543946077062914571196477686542167660429831652624386837205668069376\right)^{2}.

$$x^{2}+21430172143725346418968500981200036211228096234110672148875007767407021022498722449863967576313917162551893458351062936503742905713846280871969155149397149607869135549648461970842149210124742283755908364306092949967163882534797535118331087892154125829142392955373084335320859663305248773674411336138752x+114813069527425452423283320117768198402231770208869520047764273682576626139237031385665948631650626991844596463898746277344711896086305533142593135616665318539129989145312280000688779148240044871428926990063486244781615463646388363947317026040466353970904996558162398808944629605623311649536164221970332681344168908984458505602379484807914058900934776500429002716706625830522008132236281291761267883317206598995396418127021779858404042159853183251540889433902091920554957783589672039160081957216630582755380425583726015528348786419432054508915275783882625175435528800822842770817965453762184851149029376-\left(x-2^{999}\right)^{2}=2^{1000}$$

Calculate 2 to the power of 999 and get 5357543035931336604742125245300009052807024058527668037218751941851755255624680612465991894078479290637973364587765734125935726428461570217992288787349287401967283887412115492710537302531185570938977091076523237491790970633699383779582771973038531457285598238843271083830214915826312193418602834034688.

$$x^{2}+21430172143725346418968500981200036211228096234110672148875007767407021022498722449863967576313917162551893458351062936503742905713846280871969155149397149607869135549648461970842149210124742283755908364306092949967163882534797535118331087892154125829142392955373084335320859663305248773674411336138752x+114813069527425452423283320117768198402231770208869520047764273682576626139237031385665948631650626991844596463898746277344711896086305533142593135616665318539129989145312280000688779148240044871428926990063486244781615463646388363947317026040466353970904996558162398808944629605623311649536164221970332681344168908984458505602379484807914058900934776500429002716706625830522008132236281291761267883317206598995396418127021779858404042159853183251540889433902091920554957783589672039160081957216630582755380425583726015528348786419432054508915275783882625175435528800822842770817965453762184851149029376-\left(x-5357543035931336604742125245300009052807024058527668037218751941851755255624680612465991894078479290637973364587765734125935726428461570217992288787349287401967283887412115492710537302531185570938977091076523237491790970633699383779582771973038531457285598238843271083830214915826312193418602834034688\right)^{2}=2^{1000}$$

Use binomial theorem \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} to expand \left(x-5357543035931336604742125245300009052807024058527668037218751941851755255624680612465991894078479290637973364587765734125935726428461570217992288787349287401967283887412115492710537302531185570938977091076523237491790970633699383779582771973038531457285598238843271083830214915826312193418602834034688\right)^{2}.

$$x^{2}+21430172143725346418968500981200036211228096234110672148875007767407021022498722449863967576313917162551893458351062936503742905713846280871969155149397149607869135549648461970842149210124742283755908364306092949967163882534797535118331087892154125829142392955373084335320859663305248773674411336138752x+114813069527425452423283320117768198402231770208869520047764273682576626139237031385665948631650626991844596463898746277344711896086305533142593135616665318539129989145312280000688779148240044871428926990063486244781615463646388363947317026040466353970904996558162398808944629605623311649536164221970332681344168908984458505602379484807914058900934776500429002716706625830522008132236281291761267883317206598995396418127021779858404042159853183251540889433902091920554957783589672039160081957216630582755380425583726015528348786419432054508915275783882625175435528800822842770817965453762184851149029376-\left(x^{2}-10715086071862673209484250490600018105614048117055336074437503883703510511249361224931983788156958581275946729175531468251871452856923140435984577574698574803934567774824230985421074605062371141877954182153046474983581941267398767559165543946077062914571196477686542167660429831652624386837205668069376x+28703267381856363105820830029442049600557942552217380011941068420644156534809257846416487157912656747961149115974686569336177974021576383285648283904166329634782497286328070000172194787060011217857231747515871561195403865911597090986829256510116588492726249139540599702236157401405827912384041055492583170336042227246114626400594871201978514725233694125107250679176656457630502033059070322940316970829301649748849104531755444964601010539963295812885222358475522980138739445897418009790020489304157645688845106395931503882087196604858013627228818945970656293858882200205710692704491363440546212787257344\right)=2^{1000}$$

To find the opposite of x^{2}-10715086071862673209484250490600018105614048117055336074437503883703510511249361224931983788156958581275946729175531468251871452856923140435984577574698574803934567774824230985421074605062371141877954182153046474983581941267398767559165543946077062914571196477686542167660429831652624386837205668069376x+28703267381856363105820830029442049600557942552217380011941068420644156534809257846416487157912656747961149115974686569336177974021576383285648283904166329634782497286328070000172194787060011217857231747515871561195403865911597090986829256510116588492726249139540599702236157401405827912384041055492583170336042227246114626400594871201978514725233694125107250679176656457630502033059070322940316970829301649748849104531755444964601010539963295812885222358475522980138739445897418009790020489304157645688845106395931503882087196604858013627228818945970656293858882200205710692704491363440546212787257344, find the opposite of each term.

$$x^{2}+21430172143725346418968500981200036211228096234110672148875007767407021022498722449863967576313917162551893458351062936503742905713846280871969155149397149607869135549648461970842149210124742283755908364306092949967163882534797535118331087892154125829142392955373084335320859663305248773674411336138752x+114813069527425452423283320117768198402231770208869520047764273682576626139237031385665948631650626991844596463898746277344711896086305533142593135616665318539129989145312280000688779148240044871428926990063486244781615463646388363947317026040466353970904996558162398808944629605623311649536164221970332681344168908984458505602379484807914058900934776500429002716706625830522008132236281291761267883317206598995396418127021779858404042159853183251540889433902091920554957783589672039160081957216630582755380425583726015528348786419432054508915275783882625175435528800822842770817965453762184851149029376-x^{2}+10715086071862673209484250490600018105614048117055336074437503883703510511249361224931983788156958581275946729175531468251871452856923140435984577574698574803934567774824230985421074605062371141877954182153046474983581941267398767559165543946077062914571196477686542167660429831652624386837205668069376x-28703267381856363105820830029442049600557942552217380011941068420644156534809257846416487157912656747961149115974686569336177974021576383285648283904166329634782497286328070000172194787060011217857231747515871561195403865911597090986829256510116588492726249139540599702236157401405827912384041055492583170336042227246114626400594871201978514725233694125107250679176656457630502033059070322940316970829301649748849104531755444964601010539963295812885222358475522980138739445897418009790020489304157645688845106395931503882087196604858013627228818945970656293858882200205710692704491363440546212787257344=2^{1000}$$

Combine x^{2} and -x^{2} to get 0.

$$21430172143725346418968500981200036211228096234110672148875007767407021022498722449863967576313917162551893458351062936503742905713846280871969155149397149607869135549648461970842149210124742283755908364306092949967163882534797535118331087892154125829142392955373084335320859663305248773674411336138752x+114813069527425452423283320117768198402231770208869520047764273682576626139237031385665948631650626991844596463898746277344711896086305533142593135616665318539129989145312280000688779148240044871428926990063486244781615463646388363947317026040466353970904996558162398808944629605623311649536164221970332681344168908984458505602379484807914058900934776500429002716706625830522008132236281291761267883317206598995396418127021779858404042159853183251540889433902091920554957783589672039160081957216630582755380425583726015528348786419432054508915275783882625175435528800822842770817965453762184851149029376+10715086071862673209484250490600018105614048117055336074437503883703510511249361224931983788156958581275946729175531468251871452856923140435984577574698574803934567774824230985421074605062371141877954182153046474983581941267398767559165543946077062914571196477686542167660429831652624386837205668069376x-28703267381856363105820830029442049600557942552217380011941068420644156534809257846416487157912656747961149115974686569336177974021576383285648283904166329634782497286328070000172194787060011217857231747515871561195403865911597090986829256510116588492726249139540599702236157401405827912384041055492583170336042227246114626400594871201978514725233694125107250679176656457630502033059070322940316970829301649748849104531755444964601010539963295812885222358475522980138739445897418009790020489304157645688845106395931503882087196604858013627228818945970656293858882200205710692704491363440546212787257344=2^{1000}$$

Combine 21430172143725346418968500981200036211228096234110672148875007767407021022498722449863967576313917162551893458351062936503742905713846280871969155149397149607869135549648461970842149210124742283755908364306092949967163882534797535118331087892154125829142392955373084335320859663305248773674411336138752x and 10715086071862673209484250490600018105614048117055336074437503883703510511249361224931983788156958581275946729175531468251871452856923140435984577574698574803934567774824230985421074605062371141877954182153046474983581941267398767559165543946077062914571196477686542167660429831652624386837205668069376x to get 32145258215588019628452751471800054316842144351166008223312511651110531533748083674795951364470875743827840187526594404755614358570769421307953732724095724411803703324472692956263223815187113425633862546459139424950745823802196302677496631838231188743713589433059626502981289494957873160511617004208128x.

$$32145258215588019628452751471800054316842144351166008223312511651110531533748083674795951364470875743827840187526594404755614358570769421307953732724095724411803703324472692956263223815187113425633862546459139424950745823802196302677496631838231188743713589433059626502981289494957873160511617004208128x+114813069527425452423283320117768198402231770208869520047764273682576626139237031385665948631650626991844596463898746277344711896086305533142593135616665318539129989145312280000688779148240044871428926990063486244781615463646388363947317026040466353970904996558162398808944629605623311649536164221970332681344168908984458505602379484807914058900934776500429002716706625830522008132236281291761267883317206598995396418127021779858404042159853183251540889433902091920554957783589672039160081957216630582755380425583726015528348786419432054508915275783882625175435528800822842770817965453762184851149029376-28703267381856363105820830029442049600557942552217380011941068420644156534809257846416487157912656747961149115974686569336177974021576383285648283904166329634782497286328070000172194787060011217857231747515871561195403865911597090986829256510116588492726249139540599702236157401405827912384041055492583170336042227246114626400594871201978514725233694125107250679176656457630502033059070322940316970829301649748849104531755444964601010539963295812885222358475522980138739445897418009790020489304157645688845106395931503882087196604858013627228818945970656293858882200205710692704491363440546212787257344=2^{1000}$$

Subtract 28703267381856363105820830029442049600557942552217380011941068420644156534809257846416487157912656747961149115974686569336177974021576383285648283904166329634782497286328070000172194787060011217857231747515871561195403865911597090986829256510116588492726249139540599702236157401405827912384041055492583170336042227246114626400594871201978514725233694125107250679176656457630502033059070322940316970829301649748849104531755444964601010539963295812885222358475522980138739445897418009790020489304157645688845106395931503882087196604858013627228818945970656293858882200205710692704491363440546212787257344 from 114813069527425452423283320117768198402231770208869520047764273682576626139237031385665948631650626991844596463898746277344711896086305533142593135616665318539129989145312280000688779148240044871428926990063486244781615463646388363947317026040466353970904996558162398808944629605623311649536164221970332681344168908984458505602379484807914058900934776500429002716706625830522008132236281291761267883317206598995396418127021779858404042159853183251540889433902091920554957783589672039160081957216630582755380425583726015528348786419432054508915275783882625175435528800822842770817965453762184851149029376 to get 86109802145569089317462490088326148801673827656652140035823205261932469604427773539249461473737970243883447347924059708008533922064729149856944851712498988904347491858984210000516584361180033653571695242547614683586211597734791272960487769530349765478178747418621799106708472204217483737152123166477749511008126681738343879201784613605935544175701082375321752037529969372891506099177210968820950912487904949246547313595266334893803031619889887438655667075426568940416218337692254029370061467912472937066535319187794511646261589814574040881686456837911968881576646600617132078113474090321638638361772032.

$$32145258215588019628452751471800054316842144351166008223312511651110531533748083674795951364470875743827840187526594404755614358570769421307953732724095724411803703324472692956263223815187113425633862546459139424950745823802196302677496631838231188743713589433059626502981289494957873160511617004208128x+86109802145569089317462490088326148801673827656652140035823205261932469604427773539249461473737970243883447347924059708008533922064729149856944851712498988904347491858984210000516584361180033653571695242547614683586211597734791272960487769530349765478178747418621799106708472204217483737152123166477749511008126681738343879201784613605935544175701082375321752037529969372891506099177210968820950912487904949246547313595266334893803031619889887438655667075426568940416218337692254029370061467912472937066535319187794511646261589814574040881686456837911968881576646600617132078113474090321638638361772032=2^{1000}$$

Calculate 2 to the power of 1000 and get 10715086071862673209484250490600018105614048117055336074437503883703510511249361224931983788156958581275946729175531468251871452856923140435984577574698574803934567774824230985421074605062371141877954182153046474983581941267398767559165543946077062914571196477686542167660429831652624386837205668069376.

$$32145258215588019628452751471800054316842144351166008223312511651110531533748083674795951364470875743827840187526594404755614358570769421307953732724095724411803703324472692956263223815187113425633862546459139424950745823802196302677496631838231188743713589433059626502981289494957873160511617004208128x+86109802145569089317462490088326148801673827656652140035823205261932469604427773539249461473737970243883447347924059708008533922064729149856944851712498988904347491858984210000516584361180033653571695242547614683586211597734791272960487769530349765478178747418621799106708472204217483737152123166477749511008126681738343879201784613605935544175701082375321752037529969372891506099177210968820950912487904949246547313595266334893803031619889887438655667075426568940416218337692254029370061467912472937066535319187794511646261589814574040881686456837911968881576646600617132078113474090321638638361772032=10715086071862673209484250490600018105614048117055336074437503883703510511249361224931983788156958581275946729175531468251871452856923140435984577574698574803934567774824230985421074605062371141877954182153046474983581941267398767559165543946077062914571196477686542167660429831652624386837205668069376$$

Subtract 86109802145569089317462490088326148801673827656652140035823205261932469604427773539249461473737970243883447347924059708008533922064729149856944851712498988904347491858984210000516584361180033653571695242547614683586211597734791272960487769530349765478178747418621799106708472204217483737152123166477749511008126681738343879201784613605935544175701082375321752037529969372891506099177210968820950912487904949246547313595266334893803031619889887438655667075426568940416218337692254029370061467912472937066535319187794511646261589814574040881686456837911968881576646600617132078113474090321638638361772032 from both sides.

$$32145258215588019628452751471800054316842144351166008223312511651110531533748083674795951364470875743827840187526594404755614358570769421307953732724095724411803703324472692956263223815187113425633862546459139424950745823802196302677496631838231188743713589433059626502981289494957873160511617004208128x=10715086071862673209484250490600018105614048117055336074437503883703510511249361224931983788156958581275946729175531468251871452856923140435984577574698574803934567774824230985421074605062371141877954182153046474983581941267398767559165543946077062914571196477686542167660429831652624386837205668069376-86109802145569089317462490088326148801673827656652140035823205261932469604427773539249461473737970243883447347924059708008533922064729149856944851712498988904347491858984210000516584361180033653571695242547614683586211597734791272960487769530349765478178747418621799106708472204217483737152123166477749511008126681738343879201784613605935544175701082375321752037529969372891506099177210968820950912487904949246547313595266334893803031619889887438655667075426568940416218337692254029370061467912472937066535319187794511646261589814574040881686456837911968881576646600617132078113474090321638638361772032$$

Subtract 86109802145569089317462490088326148801673827656652140035823205261932469604427773539249461473737970243883447347924059708008533922064729149856944851712498988904347491858984210000516584361180033653571695242547614683586211597734791272960487769530349765478178747418621799106708472204217483737152123166477749511008126681738343879201784613605935544175701082375321752037529969372891506099177210968820950912487904949246547313595266334893803031619889887438655667075426568940416218337692254029370061467912472937066535319187794511646261589814574040881686456837911968881576646600617132078113474090321638638361772032 from 10715086071862673209484250490600018105614048117055336074437503883703510511249361224931983788156958581275946729175531468251871452856923140435984577574698574803934567774824230985421074605062371141877954182153046474983581941267398767559165543946077062914571196477686542167660429831652624386837205668069376 to get -86109802145569089317462490088326148801673827656652140035823205261932469604427773539249461473737970243883447347924059708008533922064729149856944851712498988904347491858984210000516584361180033653571695242547614683586211597734791272960487769530349765478178747418621799106708472204217483737152123166477738795922054819065134394951294013587829930127584027039247314533646265862380256737952278985032793953906629002517371782127014463440946108479453902861080968500622634372641394106706832954764999096770594982884382272712810929704994191047014875337740379774997397685098960058449471648281821465934801432693702656.

$$32145258215588019628452751471800054316842144351166008223312511651110531533748083674795951364470875743827840187526594404755614358570769421307953732724095724411803703324472692956263223815187113425633862546459139424950745823802196302677496631838231188743713589433059626502981289494957873160511617004208128x=-86109802145569089317462490088326148801673827656652140035823205261932469604427773539249461473737970243883447347924059708008533922064729149856944851712498988904347491858984210000516584361180033653571695242547614683586211597734791272960487769530349765478178747418621799106708472204217483737152123166477738795922054819065134394951294013587829930127584027039247314533646265862380256737952278985032793953906629002517371782127014463440946108479453902861080968500622634372641394106706832954764999096770594982884382272712810929704994191047014875337740379774997397685098960058449471648281821465934801432693702656$$

Divide both sides by 32145258215588019628452751471800054316842144351166008223312511651110531533748083674795951364470875743827840187526594404755614358570769421307953732724095724411803703324472692956263223815187113425633862546459139424950745823802196302677496631838231188743713589433059626502981289494957873160511617004208128.

$$x=\frac{-86109802145569089317462490088326148801673827656652140035823205261932469604427773539249461473737970243883447347924059708008533922064729149856944851712498988904347491858984210000516584361180033653571695242547614683586211597734791272960487769530349765478178747418621799106708472204217483737152123166477738795922054819065134394951294013587829930127584027039247314533646265862380256737952278985032793953906629002517371782127014463440946108479453902861080968500622634372641394106706832954764999096770594982884382272712810929704994191047014875337740379774997397685098960058449471648281821465934801432693702656}{32145258215588019628452751471800054316842144351166008223312511651110531533748083674795951364470875743827840187526594404755614358570769421307953732724095724411803703324472692956263223815187113425633862546459139424950745823802196302677496631838231188743713589433059626502981289494957873160511617004208128}$$

Reduce the fraction \frac{-86109802145569089317462490088326148801673827656652140035823205261932469604427773539249461473737970243883447347924059708008533922064729149856944851712498988904347491858984210000516584361180033653571695242547614683586211597734791272960487769530349765478178747418621799106708472204217483737152123166477738795922054819065134394951294013587829930127584027039247314533646265862380256737952278985032793953906629002517371782127014463440946108479453902861080968500622634372641394106706832954764999096770594982884382272712810929704994191047014875337740379774997397685098960058449471648281821465934801432693702656}{32145258215588019628452751471800054316842144351166008223312511651110531533748083674795951364470875743827840187526594404755614358570769421307953732724095724411803703324472692956263223815187113425633862546459139424950745823802196302677496631838231188743713589433059626502981289494957873160511617004208128} to lowest terms by extracting and canceling out 10715086071862673209484250490600018105614048117055336074437503883703510511249361224931983788156958581275946729175531468251871452856923140435984577574698574803934567774824230985421074605062371141877954182153046474983581941267398767559165543946077062914571196477686542167660429831652624386837205668069376.

$$x=-\frac{8036314553897004907113187867950013579210536087791502055828127912777632883437020918698987841117718935956960046881648601188903589642692355326988433181023931102950925831118173239065805953796778356408465636614784856237686455950549075669374157959557797185928397358264906625745322373739468290127904251052031}{3}$$