Solve 77!*(77!-2*54!)^3/(77!+54!)^3+54!*(2*77!-54!)^3/(77!+54!)^3

$$\frac { 77 ! \times ( 77 ! - 2 \times 54 ! ) ^ { 3 } } { ( 77 ! + 54 ! ) ^ { 3 } } + \frac { 54 ! \times ( 2 \times 77 ! - 54 ! ) ^ { 3 } } { ( 77 ! + 54 ! ) ^ { 3 } }$$

Evaluate

$$145183092028285869634070784086308284983740148380511019605401102595319308321575336801500636053306867712000000000000$$

Solution Steps

The factorial of 77 is 145183092028285869634070784086308284983740379224208358846781574688061991349156420080065207861248000000000000000000.

$$\frac{145183092028285869634070784086308284983740379224208358846781574688061991349156420080065207861248000000000000000000\left(77!-2\times 54!\right)^{3}}{\left(77!+54!\right)^{3}}+\frac{54!\left(2\times 77!-54!\right)^{3}}{\left(77!+54!\right)^{3}}$$

The factorial of 77 is 145183092028285869634070784086308284983740379224208358846781574688061991349156420080065207861248000000000000000000.

$$\frac{145183092028285869634070784086308284983740379224208358846781574688061991349156420080065207861248000000000000000000\left(145183092028285869634070784086308284983740379224208358846781574688061991349156420080065207861248000000000000000000-2\times 54!\right)^{3}}{\left(77!+54!\right)^{3}}+\frac{54!\left(2\times 77!-54!\right)^{3}}{\left(77!+54!\right)^{3}}$$

The factorial of 54 is 230843697339241380472092742683027581083278564571807941132288000000000000.

$$\frac{145183092028285869634070784086308284983740379224208358846781574688061991349156420080065207861248000000000000000000\left(145183092028285869634070784086308284983740379224208358846781574688061991349156420080065207861248000000000000000000-2\times 230843697339241380472092742683027581083278564571807941132288000000000000\right)^{3}}{\left(77!+54!\right)^{3}}+\frac{54!\left(2\times 77!-54!\right)^{3}}{\left(77!+54!\right)^{3}}$$

Multiply 2 and 230843697339241380472092742683027581083278564571807941132288000000000000 to get 461687394678482760944185485366055162166557129143615882264576000000000000.

$$\frac{145183092028285869634070784086308284983740379224208358846781574688061991349156420080065207861248000000000000000000\left(145183092028285869634070784086308284983740379224208358846781574688061991349156420080065207861248000000000000000000-461687394678482760944185485366055162166557129143615882264576000000000000\right)^{3}}{\left(77!+54!\right)^{3}}+\frac{54!\left(2\times 77!-54!\right)^{3}}{\left(77!+54!\right)^{3}}$$

Subtract 461687394678482760944185485366055162166557129143615882264576000000000000 from 145183092028285869634070784086308284983740379224208358846781574688061991349156420080065207861248000000000000000000 to get 145183092028285869634070784086308284983739917536813680364020630502576625293994253522936064245365735424000000000000.

$$\frac{145183092028285869634070784086308284983740379224208358846781574688061991349156420080065207861248000000000000000000\times 145183092028285869634070784086308284983739917536813680364020630502576625293994253522936064245365735424000000000000^{3}}{\left(77!+54!\right)^{3}}+\frac{54!\left(2\times 77!-54!\right)^{3}}{\left(77!+54!\right)^{3}}$$

Calculate 145183092028285869634070784086308284983739917536813680364020630502576625293994253522936064245365735424000000000000 to the power of 3 and get 3060188118192376180992135598354740760618521510027040412699504500151575974142947641202051560721266565035936636871638497137480176220435141081815605472800037404221676615926275479294173205588891586862968942002907368086227295188303869497760019609378181839844514053394865916552333184678181730316943752402305024000000000000000000000000000000000000.

$$\frac{145183092028285869634070784086308284983740379224208358846781574688061991349156420080065207861248000000000000000000\times 3060188118192376180992135598354740760618521510027040412699504500151575974142947641202051560721266565035936636871638497137480176220435141081815605472800037404221676615926275479294173205588891586862968942002907368086227295188303869497760019609378181839844514053394865916552333184678181730316943752402305024000000000000000000000000000000000000}{\left(77!+54!\right)^{3}}+\frac{54!\left(2\times 77!-54!\right)^{3}}{\left(77!+54!\right)^{3}}$$

Multiply 145183092028285869634070784086308284983740379224208358846781574688061991349156420080065207861248000000000000000000 and 3060188118192376180992135598354740760618521510027040412699504500151575974142947641202051560721266565035936636871638497137480176220435141081815605472800037404221676615926275479294173205588891586862968942002907368086227295188303869497760019609378181839844514053394865916552333184678181730316943752402305024000000000000000000000000000000000000 to get 444287573187390706950511822860519430163740704613039509264539913636872588647944193111247895599280685519740480481942979216341044385521093965136371859355260028483076897546830533691010717155968922165315071858738283361153741015187829312145204504319009375776923958123238457000316612422722257437460050679470372240979003968340085396012183122739383394017455210243649493730048992056941943308551892680365309952000000000000000000000000000000000000000000000000000000.

$$\frac{444287573187390706950511822860519430163740704613039509264539913636872588647944193111247895599280685519740480481942979216341044385521093965136371859355260028483076897546830533691010717155968922165315071858738283361153741015187829312145204504319009375776923958123238457000316612422722257437460050679470372240979003968340085396012183122739383394017455210243649493730048992056941943308551892680365309952000000000000000000000000000000000000000000000000000000}{\left(77!+54!\right)^{3}}+\frac{54!\left(2\times 77!-54!\right)^{3}}{\left(77!+54!\right)^{3}}$$

The factorial of 77 is 145183092028285869634070784086308284983740379224208358846781574688061991349156420080065207861248000000000000000000.

$$\frac{444287573187390706950511822860519430163740704613039509264539913636872588647944193111247895599280685519740480481942979216341044385521093965136371859355260028483076897546830533691010717155968922165315071858738283361153741015187829312145204504319009375776923958123238457000316612422722257437460050679470372240979003968340085396012183122739383394017455210243649493730048992056941943308551892680365309952000000000000000000000000000000000000000000000000000000}{\left(145183092028285869634070784086308284983740379224208358846781574688061991349156420080065207861248000000000000000000+54!\right)^{3}}+\frac{54!\left(2\times 77!-54!\right)^{3}}{\left(77!+54!\right)^{3}}$$

The factorial of 54 is 230843697339241380472092742683027581083278564571807941132288000000000000.

$$\frac{444287573187390706950511822860519430163740704613039509264539913636872588647944193111247895599280685519740480481942979216341044385521093965136371859355260028483076897546830533691010717155968922165315071858738283361153741015187829312145204504319009375776923958123238457000316612422722257437460050679470372240979003968340085396012183122739383394017455210243649493730048992056941943308551892680365309952000000000000000000000000000000000000000000000000000000}{\left(145183092028285869634070784086308284983740379224208358846781574688061991349156420080065207861248000000000000000000+230843697339241380472092742683027581083278564571807941132288000000000000\right)^{3}}+\frac{54!\left(2\times 77!-54!\right)^{3}}{\left(77!+54!\right)^{3}}$$

Add 145183092028285869634070784086308284983740379224208358846781574688061991349156420080065207861248000000000000000000 and 230843697339241380472092742683027581083278564571807941132288000000000000 to get 145183092028285869634070784086308284983740610067905698088162046780804674376737503358629779669189132288000000000000.

$$\frac{444287573187390706950511822860519430163740704613039509264539913636872588647944193111247895599280685519740480481942979216341044385521093965136371859355260028483076897546830533691010717155968922165315071858738283361153741015187829312145204504319009375776923958123238457000316612422722257437460050679470372240979003968340085396012183122739383394017455210243649493730048992056941943308551892680365309952000000000000000000000000000000000000000000000000000000}{145183092028285869634070784086308284983740610067905698088162046780804674376737503358629779669189132288000000000000^{3}}+\frac{54!\left(2\times 77!-54!\right)^{3}}{\left(77!+54!\right)^{3}}$$

Calculate 145183092028285869634070784086308284983740610067905698088162046780804674376737503358629779669189132288000000000000 to the power of 3 and get 3060188118192376180992135598354740760618565301808638338737776718187317467700456362795390853833260748095230341676242006209868454872691497186984850573487869560263931804474723121581871278559391135216148832688231655641679903643033158091847755131577415966303246452282219393296071956174279736034644836453711872000000000000000000000000000000000000.

$$\frac{444287573187390706950511822860519430163740704613039509264539913636872588647944193111247895599280685519740480481942979216341044385521093965136371859355260028483076897546830533691010717155968922165315071858738283361153741015187829312145204504319009375776923958123238457000316612422722257437460050679470372240979003968340085396012183122739383394017455210243649493730048992056941943308551892680365309952000000000000000000000000000000000000000000000000000000}{3060188118192376180992135598354740760618565301808638338737776718187317467700456362795390853833260748095230341676242006209868454872691497186984850573487869560263931804474723121581871278559391135216148832688231655641679903643033158091847755131577415966303246452282219393296071956174279736034644836453711872000000000000000000000000000000000000}+\frac{54!\left(2\times 77!-54!\right)^{3}}{\left(77!+54!\right)^{3}}$$

Reduce the fraction \frac{444287573187390706950511822860519430163740704613039509264539913636872588647944193111247895599280685519740480481942979216341044385521093965136371859355260028483076897546830533691010717155968922165315071858738283361153741015187829312145204504319009375776923958123238457000316612422722257437460050679470372240979003968340085396012183122739383394017455210243649493730048992056941943308551892680365309952000000000000000000000000000000000000000000000000000000}{3060188118192376180992135598354740760618565301808638338737776718187317467700456362795390853833260748095230341676242006209868454872691497186984850573487869560263931804474723121581871278559391135216148832688231655641679903643033158091847755131577415966303246452282219393296071956174279736034644836453711872000000000000000000000000000000000000} to lowest terms by extracting and canceling out 12301386527690802190571535136961344434254259516751521866384241228482186630422467420018136694952882033148567607445244204049564920690248542026318683416963243327200598074966117711872000000000000000000000000000000000000.

$$\frac{36116869605494113607609103715767110006777427717717657679373642488594953104992813328246773332638400271665466434458212701483079073812265989583299551471475208928874377483251235097559328430489980136175491858958423239233110016000000000000000000}{248767739417324861501697186371849450981050427169841561374353149622405006655562547261650874177183386858326448676592549888000001}+\frac{54!\left(2\times 77!-54!\right)^{3}}{\left(77!+54!\right)^{3}}$$

The factorial of 54 is 230843697339241380472092742683027581083278564571807941132288000000000000.

$$\frac{36116869605494113607609103715767110006777427717717657679373642488594953104992813328246773332638400271665466434458212701483079073812265989583299551471475208928874377483251235097559328430489980136175491858958423239233110016000000000000000000}{248767739417324861501697186371849450981050427169841561374353149622405006655562547261650874177183386858326448676592549888000001}+\frac{230843697339241380472092742683027581083278564571807941132288000000000000\left(2\times 77!-54!\right)^{3}}{\left(77!+54!\right)^{3}}$$

The factorial of 77 is 145183092028285869634070784086308284983740379224208358846781574688061991349156420080065207861248000000000000000000.

$$\frac{36116869605494113607609103715767110006777427717717657679373642488594953104992813328246773332638400271665466434458212701483079073812265989583299551471475208928874377483251235097559328430489980136175491858958423239233110016000000000000000000}{248767739417324861501697186371849450981050427169841561374353149622405006655562547261650874177183386858326448676592549888000001}+\frac{230843697339241380472092742683027581083278564571807941132288000000000000\left(2\times 145183092028285869634070784086308284983740379224208358846781574688061991349156420080065207861248000000000000000000-54!\right)^{3}}{\left(77!+54!\right)^{3}}$$

Multiply 2 and 145183092028285869634070784086308284983740379224208358846781574688061991349156420080065207861248000000000000000000 to get 290366184056571739268141568172616569967480758448416717693563149376123982698312840160130415722496000000000000000000.

$$\frac{36116869605494113607609103715767110006777427717717657679373642488594953104992813328246773332638400271665466434458212701483079073812265989583299551471475208928874377483251235097559328430489980136175491858958423239233110016000000000000000000}{248767739417324861501697186371849450981050427169841561374353149622405006655562547261650874177183386858326448676592549888000001}+\frac{230843697339241380472092742683027581083278564571807941132288000000000000\left(290366184056571739268141568172616569967480758448416717693563149376123982698312840160130415722496000000000000000000-54!\right)^{3}}{\left(77!+54!\right)^{3}}$$

The factorial of 54 is 230843697339241380472092742683027581083278564571807941132288000000000000.

$$\frac{36116869605494113607609103715767110006777427717717657679373642488594953104992813328246773332638400271665466434458212701483079073812265989583299551471475208928874377483251235097559328430489980136175491858958423239233110016000000000000000000}{248767739417324861501697186371849450981050427169841561374353149622405006655562547261650874177183386858326448676592549888000001}+\frac{230843697339241380472092742683027581083278564571807941132288000000000000\left(290366184056571739268141568172616569967480758448416717693563149376123982698312840160130415722496000000000000000000-230843697339241380472092742683027581083278564571807941132288000000000000\right)^{3}}{\left(77!+54!\right)^{3}}$$

Subtract 230843697339241380472092742683027581083278564571807941132288000000000000 from 290366184056571739268141568172616569967480758448416717693563149376123982698312840160130415722496000000000000000000 to get 290366184056571739268141568172616569967480527604719378452182677283381299670731756881565843914554867712000000000000.

$$\frac{36116869605494113607609103715767110006777427717717657679373642488594953104992813328246773332638400271665466434458212701483079073812265989583299551471475208928874377483251235097559328430489980136175491858958423239233110016000000000000000000}{248767739417324861501697186371849450981050427169841561374353149622405006655562547261650874177183386858326448676592549888000001}+\frac{230843697339241380472092742683027581083278564571807941132288000000000000\times 290366184056571739268141568172616569967480527604719378452182677283381299670731756881565843914554867712000000000000^{3}}{\left(77!+54!\right)^{3}}$$

Calculate 290366184056571739268141568172616569967480527604719378452182677283381299670731756881565843914554867712000000000000 to the power of 3 and get 24481504945539009447937084786837926084948347247342715005749124873355573767373616015571991390683969875687369881504899034431777851340285723951609322195249368771097551091953130161587443202791714063499548830336161144372398588117599637634332118934246646889017889377818650358585395935712331991630328774554288128000000000000000000000000000000000000.

$$\frac{36116869605494113607609103715767110006777427717717657679373642488594953104992813328246773332638400271665466434458212701483079073812265989583299551471475208928874377483251235097559328430489980136175491858958423239233110016000000000000000000}{248767739417324861501697186371849450981050427169841561374353149622405006655562547261650874177183386858326448676592549888000001}+\frac{230843697339241380472092742683027581083278564571807941132288000000000000\times 24481504945539009447937084786837926084948347247342715005749124873355573767373616015571991390683969875687369881504899034431777851340285723951609322195249368771097551091953130161587443202791714063499548830336161144372398588117599637634332118934246646889017889377818650358585395935712331991630328774554288128000000000000000000000000000000000000}{\left(77!+54!\right)^{3}}$$

Multiply 230843697339241380472092742683027581083278564571807941132288000000000000 and 24481504945539009447937084786837926084948347247342715005749124873355573767373616015571991390683969875687369881504899034431777851340285723951609322195249368771097551091953130161587443202791714063499548830336161144372398588117599637634332118934246646889017889377818650358585395935712331991630328774554288128000000000000000000000000000000000000 to get 5651401118057148132438744899294953335996471969299760655569868322236367387380926871298509169249813653060223132335860250188687356246578868621240238616335406736646917457634647188859467241032980673144268047286860695015545527484650641002649143827039039993707060549665089980624894237642610560559385650090454598275872326965405925984292330423699727581821812120662115876864000000000000000000000000000000000000000000000000.

$$\frac{36116869605494113607609103715767110006777427717717657679373642488594953104992813328246773332638400271665466434458212701483079073812265989583299551471475208928874377483251235097559328430489980136175491858958423239233110016000000000000000000}{248767739417324861501697186371849450981050427169841561374353149622405006655562547261650874177183386858326448676592549888000001}+\frac{5651401118057148132438744899294953335996471969299760655569868322236367387380926871298509169249813653060223132335860250188687356246578868621240238616335406736646917457634647188859467241032980673144268047286860695015545527484650641002649143827039039993707060549665089980624894237642610560559385650090454598275872326965405925984292330423699727581821812120662115876864000000000000000000000000000000000000000000000000}{\left(77!+54!\right)^{3}}$$

The factorial of 77 is 145183092028285869634070784086308284983740379224208358846781574688061991349156420080065207861248000000000000000000.

$$\frac{36116869605494113607609103715767110006777427717717657679373642488594953104992813328246773332638400271665466434458212701483079073812265989583299551471475208928874377483251235097559328430489980136175491858958423239233110016000000000000000000}{248767739417324861501697186371849450981050427169841561374353149622405006655562547261650874177183386858326448676592549888000001}+\frac{5651401118057148132438744899294953335996471969299760655569868322236367387380926871298509169249813653060223132335860250188687356246578868621240238616335406736646917457634647188859467241032980673144268047286860695015545527484650641002649143827039039993707060549665089980624894237642610560559385650090454598275872326965405925984292330423699727581821812120662115876864000000000000000000000000000000000000000000000000}{\left(145183092028285869634070784086308284983740379224208358846781574688061991349156420080065207861248000000000000000000+54!\right)^{3}}$$

The factorial of 54 is 230843697339241380472092742683027581083278564571807941132288000000000000.

$$\frac{36116869605494113607609103715767110006777427717717657679373642488594953104992813328246773332638400271665466434458212701483079073812265989583299551471475208928874377483251235097559328430489980136175491858958423239233110016000000000000000000}{248767739417324861501697186371849450981050427169841561374353149622405006655562547261650874177183386858326448676592549888000001}+\frac{5651401118057148132438744899294953335996471969299760655569868322236367387380926871298509169249813653060223132335860250188687356246578868621240238616335406736646917457634647188859467241032980673144268047286860695015545527484650641002649143827039039993707060549665089980624894237642610560559385650090454598275872326965405925984292330423699727581821812120662115876864000000000000000000000000000000000000000000000000}{\left(145183092028285869634070784086308284983740379224208358846781574688061991349156420080065207861248000000000000000000+230843697339241380472092742683027581083278564571807941132288000000000000\right)^{3}}$$

Add 145183092028285869634070784086308284983740379224208358846781574688061991349156420080065207861248000000000000000000 and 230843697339241380472092742683027581083278564571807941132288000000000000 to get 145183092028285869634070784086308284983740610067905698088162046780804674376737503358629779669189132288000000000000.

$$\frac{36116869605494113607609103715767110006777427717717657679373642488594953104992813328246773332638400271665466434458212701483079073812265989583299551471475208928874377483251235097559328430489980136175491858958423239233110016000000000000000000}{248767739417324861501697186371849450981050427169841561374353149622405006655562547261650874177183386858326448676592549888000001}+\frac{5651401118057148132438744899294953335996471969299760655569868322236367387380926871298509169249813653060223132335860250188687356246578868621240238616335406736646917457634647188859467241032980673144268047286860695015545527484650641002649143827039039993707060549665089980624894237642610560559385650090454598275872326965405925984292330423699727581821812120662115876864000000000000000000000000000000000000000000000000}{145183092028285869634070784086308284983740610067905698088162046780804674376737503358629779669189132288000000000000^{3}}$$

Calculate 145183092028285869634070784086308284983740610067905698088162046780804674376737503358629779669189132288000000000000 to the power of 3 and get 3060188118192376180992135598354740760618565301808638338737776718187317467700456362795390853833260748095230341676242006209868454872691497186984850573487869560263931804474723121581871278559391135216148832688231655641679903643033158091847755131577415966303246452282219393296071956174279736034644836453711872000000000000000000000000000000000000.

$$\frac{36116869605494113607609103715767110006777427717717657679373642488594953104992813328246773332638400271665466434458212701483079073812265989583299551471475208928874377483251235097559328430489980136175491858958423239233110016000000000000000000}{248767739417324861501697186371849450981050427169841561374353149622405006655562547261650874177183386858326448676592549888000001}+\frac{5651401118057148132438744899294953335996471969299760655569868322236367387380926871298509169249813653060223132335860250188687356246578868621240238616335406736646917457634647188859467241032980673144268047286860695015545527484650641002649143827039039993707060549665089980624894237642610560559385650090454598275872326965405925984292330423699727581821812120662115876864000000000000000000000000000000000000000000000000}{3060188118192376180992135598354740760618565301808638338737776718187317467700456362795390853833260748095230341676242006209868454872691497186984850573487869560263931804474723121581871278559391135216148832688231655641679903643033158091847755131577415966303246452282219393296071956174279736034644836453711872000000000000000000000000000000000000}$$

Reduce the fraction \frac{5651401118057148132438744899294953335996471969299760655569868322236367387380926871298509169249813653060223132335860250188687356246578868621240238616335406736646917457634647188859467241032980673144268047286860695015545527484650641002649143827039039993707060549665089980624894237642610560559385650090454598275872326965405925984292330423699727581821812120662115876864000000000000000000000000000000000000000000000000}{3060188118192376180992135598354740760618565301808638338737776718187317467700456362795390853833260748095230341676242006209868454872691497186984850573487869560263931804474723121581871278559391135216148832688231655641679903643033158091847755131577415966303246452282219393296071956174279736034644836453711872000000000000000000000000000000000000} to lowest terms by extracting and canceling out 12301386527690802190571535136961344434254259516751521866384241228482186630422467420018136694952882033148567607445244204049564920690248542026318683416963243327200598074966117711872000000000000000000000000000000000000.

$$\frac{36116869605494113607609103715767110006777427717717657679373642488594953104992813328246773332638400271665466434458212701483079073812265989583299551471475208928874377483251235097559328430489980136175491858958423239233110016000000000000000000}{248767739417324861501697186371849450981050427169841561374353149622405006655562547261650874177183386858326448676592549888000001}+\frac{459411717966561665727359012746415786525329438596032869408546317659911421525646581785192464184603648261834516712210549340581388137270216573837187216846444709531123983674065779359546867712000000000000}{248767739417324861501697186371849450981050427169841561374353149622405006655562547261650874177183386858326448676592549888000001}$$

Add \frac{36116869605494113607609103715767110006777427717717657679373642488594953104992813328246773332638400271665466434458212701483079073812265989583299551471475208928874377483251235097559328430489980136175491858958423239233110016000000000000000000}{248767739417324861501697186371849450981050427169841561374353149622405006655562547261650874177183386858326448676592549888000001} and \frac{459411717966561665727359012746415786525329438596032869408546317659911421525646581785192464184603648261834516712210549340581388137270216573837187216846444709531123983674065779359546867712000000000000}{248767739417324861501697186371849450981050427169841561374353149622405006655562547261650874177183386858326448676592549888000001} to get 145183092028285869634070784086308284983740148380511019605401102595319308321575336801500636053306867712000000000000.

$$145183092028285869634070784086308284983740148380511019605401102595319308321575336801500636053306867712000000000000$$

Factor

$$2^{50}\times 3^{26}\times 5^{12}\times 7^{8}\times 11^{4}\times 13^{4}\times 17^{3}\times 19^{2}\times 23^{2}\times 29\times 31\times 37\times 41\times 43\times 47\times 53\times 628923785668399238867624135248183295999999$$