2x^2+12x+40=0 lösen

$$2x^2+12x+40=0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=-3+\sqrt{11}i\approx -3+3,31662479i$$

$$x=-\sqrt{11}i-3\approx -3-3,31662479i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$2x^{2}+12x+40=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch 12 und c durch 40, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 2\times 40}}{2\times 2}$$

12 zum Quadrat.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 2\times 40}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-8\times 40}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit 40.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-320}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 144 zu -320.

$$x=\frac{-12±\sqrt{-176}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -176.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -12 zu 4i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-12+4\sqrt{11}i}{4}$$

Dividieren Sie -12+4i\sqrt{11} durch 4.

$$x=-3+\sqrt{11}i$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 4i\sqrt{11} von -12.

$$x=\frac{-4\sqrt{11}i-12}{4}$$

Dividieren Sie -12-4i\sqrt{11} durch 4.

$$x=-\sqrt{11}i-3$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-3+\sqrt{11}i x=-\sqrt{11}i-3$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$2x^{2}+12x+40=0$$

40 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$2x^{2}+12x+40-40=-40$$

Die Subtraktion von 40 von sich selbst ergibt 0.

$$2x^{2}+12x=-40$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$\frac{2x^{2}+12x}{2}=-\frac{40}{2}$$

Division durch 2 macht die Multiplikation mit 2 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{12}{2}x=-\frac{40}{2}$$

Dividieren Sie 12 durch 2.

$$x^{2}+6x=-\frac{40}{2}$$

Dividieren Sie -40 durch 2.

$$x^{2}+6x=-20$$

Dividieren Sie 6, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um 3 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von 3 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+6x+3^{2}=-20+3^{2}$$

3 zum Quadrat.

$$x^{2}+6x+9=-20+9$$

Addieren Sie -20 zu 9.

$$x^{2}+6x+9=-11$$

Faktor x^{2}+6x+9. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x+3\right)^{2}=-11$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+3\right)^{2}}=\sqrt{-11}$$

Vereinfachen.

$$x+3=\sqrt{11}i x+3=-\sqrt{11}i$$

3 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=-3+\sqrt{11}i x=-\sqrt{11}i-3$$