Vyriešiť {l}{x=5y+5}{6x-4y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 5y + 5 } \\ { 6 x - 4 y = 7 } \end{array} \right.$$

Riešenie pre x,y

$$x=\frac{15}{26}\approx 0,576923077$$

$$y=-\frac{23}{26}\approx -0,884615385$$

Postup použitia dosadenia

Zvážte prvú rovnicu. Odčítajte 5y z oboch strán.

$$x-5y=5$$

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej x tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú x.

$$x-5y=5$$

Prirátajte 5y ku obom stranám rovnice.

$$x=5y+5$$

Dosaďte 5+5y za x v druhej rovnici 6x-4y=7.

$$6\left(5y+5\right)-4y=7$$

Vynásobte číslo 6 číslom 5+5y.

$$30y+30-4y=7$$

Prirátajte 30y ku -4y.

$$26y+30=7$$

Odčítajte hodnotu 30 od oboch strán rovnice.

$$26y=-23$$

Vydeľte obe strany hodnotou 26.

$$y=-\frac{23}{26}$$

V rovnici x=5y+5 dosaďte y za premennú -\frac{23}{26}. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x=5\left(-\frac{23}{26}\right)+5$$

Vynásobte číslo 5 číslom -\frac{23}{26}.

$$x=-\frac{115}{26}+5$$

Prirátajte 5 ku -\frac{115}{26}.

$$x=\frac{15}{26}$$

Systém je vyriešený.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

Postup použitia matíc

Zvážte prvú rovnicu. Odčítajte 5y z oboch strán.

$$x-5y=5$$

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{-4-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{-4-\left(-5\times 6\right)}&\frac{1}{-4-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}&\frac{5}{26}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\times 5+\frac{5}{26}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 5+\frac{1}{26}\times 7\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{26}\\-\frac{23}{26}\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice x a y.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

Postup použitia eliminácie

Zvážte prvú rovnicu. Odčítajte 5y z oboch strán.

$$x-5y=5$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Ak chcete, aby boli členy x a 6x rovnaké, všetky členy na oboch stranách prvej rovnice vynásobte číslom 6 a všetky členy na oboch stranách druhej rovnice číslom 1.

$$6x+6\left(-5\right)y=6\times 5,6x-4y=7$$

Zjednodušte.

$$6x-30y=30,6x-4y=7$$

Odčítajte rovnicu 6x-4y=7 od rovnice 6x-30y=30 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$6x-6x-30y+4y=30-7$$

Prirátajte 6x ku -6x. Členy 6x a -6x sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$-30y+4y=30-7$$

Prirátajte -30y ku 4y.

$$-26y=30-7$$

Prirátajte 30 ku -7.

$$-26y=23$$

Vydeľte obe strany hodnotou -26.

$$y=-\frac{23}{26}$$

V rovnici 6x-4y=7 dosaďte y za premennú -\frac{23}{26}. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$6x-4\left(-\frac{23}{26}\right)=7$$

Vynásobte číslo -4 číslom -\frac{23}{26}.

$$6x+\frac{46}{13}=7$$

Odčítajte hodnotu \frac{46}{13} od oboch strán rovnice.

$$6x=\frac{45}{13}$$

Vydeľte obe strany hodnotou 6.

$$x=\frac{15}{26}$$

Systém je vyriešený.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$