Vyriešiť {l}{8x+2y=46}{7x+3y=47}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 x + 2 y = 46 } \\ { 7 x + 3 y = 47 } \end{array} \right.$$

Riešenie pre x,y

$$x = \frac{22}{5} = 4\frac{2}{5} = 4,4$$

$$y = \frac{27}{5} = 5\frac{2}{5} = 5,4$$

Postup použitia dosadenia

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej x tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú x.

$$8x+2y=46$$

Odčítajte hodnotu 2y od oboch strán rovnice.

$$8x=-2y+46$$

Vydeľte obe strany hodnotou 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-2y+46\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{8} číslom -2y+46.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}$$

Dosaďte \frac{-y+23}{4} za x v druhej rovnici 7x+3y=47.

$$7\left(-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}\right)+3y=47$$

Vynásobte číslo 7 číslom \frac{-y+23}{4}.

$$-\frac{7}{4}y+\frac{161}{4}+3y=47$$

Prirátajte -\frac{7y}{4} ku 3y.

$$\frac{5}{4}y+\frac{161}{4}=47$$

Odčítajte hodnotu \frac{161}{4} od oboch strán rovnice.

$$\frac{5}{4}y=\frac{27}{4}$$

Vydeľte obe strany rovnice hodnotou \frac{5}{4}, čo je to isté ako pri vynásobení oboch strán prevráteným zlomkom.

$$y=\frac{27}{5}$$

V rovnici x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4} dosaďte y za premennú \frac{27}{5}. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{27}{5}+\frac{23}{4}$$

Vynásobte zlomok -\frac{1}{4} zlomkom \frac{27}{5} tak, že vynásobíte čitateľa čitateľom a menovateľa menovateľom. Ak je to možné, zlomok potom čo najviac vykráťte.

$$x=-\frac{27}{20}+\frac{23}{4}$$

Prirátajte \frac{23}{4} ku -\frac{27}{20} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x=\frac{22}{5}$$

Systém je vyriešený.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

Postup použitia matíc

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-2\times 7}&-\frac{2}{8\times 3-2\times 7}\\-\frac{7}{8\times 3-2\times 7}&\frac{8}{8\times 3-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&-\frac{1}{5}\\-\frac{7}{10}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 46-\frac{1}{5}\times 47\\-\frac{7}{10}\times 46+\frac{4}{5}\times 47\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{5}\\\frac{27}{5}\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice x a y.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

Postup použitia eliminácie

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Ak chcete, aby boli členy 8x a 7x rovnaké, všetky členy na oboch stranách prvej rovnice vynásobte číslom 7 a všetky členy na oboch stranách druhej rovnice číslom 8.

$$7\times 8x+7\times 2y=7\times 46,8\times 7x+8\times 3y=8\times 47$$

Zjednodušte.

$$56x+14y=322,56x+24y=376$$

Odčítajte rovnicu 56x+24y=376 od rovnice 56x+14y=322 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$56x-56x+14y-24y=322-376$$

Prirátajte 56x ku -56x. Členy 56x a -56x sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$14y-24y=322-376$$

Prirátajte 14y ku -24y.

$$-10y=322-376$$

Prirátajte 322 ku -376.

$$-10y=-54$$

Vydeľte obe strany hodnotou -10.

$$y=\frac{27}{5}$$

V rovnici 7x+3y=47 dosaďte y za premennú \frac{27}{5}. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$7x+3\times \frac{27}{5}=47$$

Vynásobte číslo 3 číslom \frac{27}{5}.

$$7x+\frac{81}{5}=47$$

Odčítajte hodnotu \frac{81}{5} od oboch strán rovnice.

$$7x=\frac{154}{5}$$

Vydeľte obe strany hodnotou 7.

$$x=\frac{22}{5}$$

Systém je vyriešený.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$