Rozwiąż y-3x=2text{and}7x-2y=8

$$y - 3 x = 2 \text { and } 7 x - 2 y = 8$$

Rozwiąż względem y, x

$$x=12$$

$$y=38$$

Kroki z użyciem podstawiania

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

Wybierz jedno z równań i Rozwiąż je dla y, izolując y po lewej stronie znaku równości.

$$y-3x=2$$

Dodaj 3x do obu stron równania.

$$y=3x+2$$

Podstaw 3x+2 do y w drugim równaniu: -2y+7x=8.

$$-2\left(3x+2\right)+7x=8$$

Pomnóż -2 przez 3x+2.

$$-6x-4+7x=8$$

Dodaj -6x do 7x.

$$x-4=8$$

Dodaj 4 do obu stron równania.

$$x=12$$

Podstaw 12 do x w równaniu y=3x+2. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem y.

$$y=3\times 12+2$$

Pomnóż 3 przez 12.

$$y=36+2$$

Dodaj 2 do 36.

$$y=38$$

System jest teraz rozwiązany.

$$y=38,x=12$$

Kroki z użyciem macierzy

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze po lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

W przypadku macierzy 2\times 2\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), dlatego równanie macierzy może być ponownie zapisane jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}&-\frac{-3}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7&3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\times 2+3\times 8\\2\times 2+8\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\12\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy y i x.

$$y=38,x=12$$

Kroki z użyciem eliminacji

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

Aby czynniki y i -2y były równe, pomnóż wszystkie czynniki po obu stronach pierwszego równania przez -2 oraz wszystkie czynniki po obu stronach drugiego równania przez 1.

$$-2y-2\left(-3\right)x=-2\times 2,-2y+7x=8$$

Uprość.

$$-2y+6x=-4,-2y+7x=8$$

Odejmij -2y+7x=8 od -2y+6x=-4, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$-2y+2y+6x-7x=-4-8$$

Dodaj -2y do 2y. Czynniki -2y i 2y skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$6x-7x=-4-8$$

Dodaj 6x do -7x.

$$-x=-4-8$$

Dodaj -4 do -8.

$$-x=-12$$

Podziel obie strony przez -1.

$$x=12$$

Podstaw 12 do x w równaniu -2y+7x=8. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem y.

$$-2y+7\times 12=8$$

Pomnóż 7 przez 12.

$$-2y+84=8$$

Odejmij 84 od obu stron równania.

$$-2y=-76$$

Podziel obie strony przez -2.

$$y=38$$

System jest teraz rozwiązany.

$$y=38,x=12$$